PieceCHECK(2023-57) 2003年東京大　2003乗の1の位

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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は、2003年の東京大学からで、整数と数列の融合問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

今では典型問題に分類されるタイプの融合問題でしょうが、おそらく本問がその大元の問題でしょう。
その意味で、入試出題当時はレベル高めの問題だったと思います。

(1)は2次方程式の解の対称式ですが、次数が高い場合は漸化式的に考えていくという原則があります。これを知っていると簡単です。

次数の高い対称式→2次方程式から漸化式を作る

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ～数と式～』p.66

本原則を用いた関連動画もあります。

(2)は問題としては大したことないですが、βの方がほぼ影響しないことに気づかせるための問題でしょう。

(3)がメインです。今となっては典型問題なので誘導は不要ですが、発想としては、(1)によって、「$${\alpha ^{2023}+\beta ^{2023}=s_{2023}}$$を考えよう」(2)によって、「$${β^{2023}}$$分だけ考慮すればいい」といった感じでしょう。

$${s_{2023}}$$は漸化式によって与えられます。その1の位、すなわち10で割った余りですが、「漸化式」と「余り」とくれば、周期性が原則になります。一般項を見ても分かりません。

余りの漸化式は周期性を調べる

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～』p.103

順番に調べると、周期４で余りが繰り返されることが分かります。

今では誘導なしでも出題される問題です。
$${(●+▲\sqrt{■})^n}$$のような形を見たら、ペア$${(●+▲\sqrt{■})^n}$$を持ち出すことが原則です。

$${\bm{(●+▲\sqrt{■})^n}}$$は$${\bm{(●+▲\sqrt{■})^n}}$$とペアにする

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～』p.105 ←誘導なしの問題を収録

このペアは、係数がキレイな2次方程式の解になるので、(1)から自分で考えようという流れですね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

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解答

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