PieceCHECK(2023-25) 【難しめです】3変数関数の最小値

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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は早稲田大学(商学部)からで、3変数関数の最小値です。

思考時間は15分、目標解答時間はそこから約10分です。

こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。

解答

※動画と若干順番違いますが、解法は同じです。

解説・原則など

条件付き3変数関数の最小値を求める問題です。なかなか手が付けにくい問題で、難しめだったと思います。

今回のように逆数の和が一定のような場合は、相加平均相乗平均が使える可能性が高いです。

相加・相乗が使えるパターンその４：逆数の和が一定下での最大・最小

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece数学Ⅱ～式と証明～』p.61を参照

条件式の対称性が悪いので、置き換えてみます。すると、条件式も求めたい式もX,Y,Zの対称式になります。対称式なので基本対称式を意識したいところです。

条件式からXY+YZ+ZXという式がちょうどキャンセルされ、X+Y+Zの最小値を求めることに帰着されます。これも初見では思いつきにくい解法が多いですが、先ほどの原則から相加・相乗の利用が一番思いつきやすいかと思います。

別解１
求めたい式X+Y+Zにあえて条件式をかけるという方法です。これにより、$${\frac{Y}{X}+\frac{X}{Y}}$$のような項がたくさん現れますので、2文字の相加・相乗が使えます。
$${(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$$のような式なら傍用問題集にもよくありますね。それの3文字バージョンを自分で作るという感じです。

別解２
条件式をかけるところは同じですがその式に、コーシー・シュワルツの不等式を利用する方法もあります。3変数関連で対称性が高い問題は、コーシー・シュワルツが使えることは結構多いですね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

相加平均・相乗平均が使えるパターンについてはかなり体系的に紹介しています＾＾

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