Pythonは虚数を扱えるらしい

2024年1月19日 01:47

たとえば変数「$${c}$$」に複素数「$${3 + 4i}$$」を入れるとする。

$$
c = 3 + 4i
$$

Pythonではこう書くらしい。

c = complex(3, 4)
print(c)

結果。

(3+4j)

なぜか虚数が「$${j}$$」になっているけれど、電気工学の慣習では電流の「$${i}$$」と区別するために「$${j}$$」と書くらしい。「complex」は複素数「complex number」から。

たとえば先ほどの「$${c}$$」を2乗してみる。手計算だとこうなるけれど、

$$
\begin{align*}
\\
c^2 &= (3 + 4i)^2 \\
&= 3^2 + 2 \times 3 \times 4i + (4i)^2 \\
&= 9 + 24i - 16 \\ &= -7 + 24i
\end{align*}
$$

Pythonはこれだけ。

c = complex(3, 4)
print(c**2)

結果。

(-7+24j)

ちゃんと計算してくれてる！

逆に「$${c}$$」から「実部」や「虚部」を取り出すこともできる。

c = complex(3, 4)
print(c.real)
print(c.imag)

結果。

3
4

ちなみに英語で実部を「real part」、虚部を「imaginary part」と言うらしい。

マンデルブロ集合を描いてみる

こうなると描きたくなるのが「マンデルブロ集合」。これを描くには複素数の計算が必要になるけれど、Pythonならすごく簡単に書けるのでは！？

# マンデルブロ集合の画像をPNG形式で保存する

# モジュールをインポート
import numpy as np  # 科学計算
from PIL import Image  # 画像の読み書きなど
import time  # 時間計算

# 開始時刻を記録
start = time.time()

# 画像の解像度、描画する範囲、を設定
width, height = 2000, 2000  # 画像の解像度（px）
a_min, a_max = -2, 1  # 複素数のaの範囲（画像の横軸）
b_min, b_max = -1.5, 1.5  # 複素数のbの範囲（画像の縦軸）
loop_max = 4096  # 再帰回数の最大（256の倍数を推奨）

# マンデルブロ集合の内側なら黒(0)、外側なら再帰回数(n)、を返す
def mandelbrot(c, loop_max):
    z = 0  # zの初期値=0
    n = 0  # 再帰回数の初期値=0
    while abs(z) <= 2 and n < loop_max:  # zが距離2を脱出するまで
        z = z ** 2 + c  # z = z² + c
        n = n + 1
    if n == loop_max:
        return 0  # 集合の内側
    else:
        return n  # 集合の外側

# 画像データ配列（NumPy配列）を作成
image_data = np.zeros((height, width), dtype=np.uint8)  # データ型：8bitの符号なし整数(0〜255)

# 全ピクセルについて、マンデルブロ集合の内側か外側かを調べる
for b_index, b in enumerate(np.linspace(b_min, b_max, height)):
    for a_index, a in enumerate(np.linspace(a_min, a_max, width)):
        c = complex(a, b)   # 複素数に変換（c=a+bi）
        n = mandelbrot(c, loop_max)  # マンデルブロ集合の計算（n=再帰回数）
        image_data[b_index, a_index] = 255 - n % 256  # nを画像データ配列に格納（nを0〜255の繰り返しにして、明るさを反転）

# NumPy配列をPillow画像オブジェクトに変換
image = Image.fromarray(image_data)  # NumPy→Pillow
image = image.convert('RGB')  # RGB形式に変換

# 画像を保存
image.save('mandelbrot.png')

# 終了時刻を記録
end = time.time()

# 実行にかかった時間を表示
print('実行時間 :', format(end - start, '.2f'), '秒')