なんか楕円関数論勉強する気になった2
こんにちは
https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/daenkansuron/daenkansuron_02.html
やりますよ
前回標準形を出したことは一旦忘れて今回は，
$$
\int R\left\{z,\sqrt{\varphi(z)}\right\}dz (1)
$$
の$${\varphi(z)}$$が特殊な形であると仮定するようです。具体的には，
$$
\varphi(z)=a\left(z-\alpha_0\right)\left(z-\alpha_1\right)\left(z-\alpha_2\right)\left(z-\alpha_3\right)
$$
とします。ただし４つのαは全部異なる定数です。
さらに，
$$
z=\frac{A\zeta+B}{C\zeta+D} , AD-BC\neq0
$$
と変換します。なんだか意味ありげですね。なんのためにこんなことを。
てかこんなことしていいのか？分母も分子も1次式があるけど。
いいか。
ついてる条件はAD-BC=0 だとz＝B/D(定数)になるからっぽいです。計算しました。
その結果 (1) はやはり一つの楕円積分となる，それを
$$
\int R_1\left\{\zeta,\sqrt{\varphi_1(\zeta)}\right\}d\zeta\\\
\varphi_1(\zeta)=c\left(\zeta-\beta_0\right)\left(\zeta-\beta_1\right)\left(\zeta-\beta_2\right)\left(\zeta-\beta_3\right) (2)
$$
とし，ここに
$$
\alpha_i=\frac{A\beta_i+B}{C\beta_i+D}\ ,\ \ \ i=0,\ 1,\ 2,\ 3
$$
とすれば，
$$
\frac{\alpha_1-\alpha_0}{\alpha_1-\alpha_2}\frac{\alpha_3-\alpha_2}{\alpha_3-\alpha_0}=\frac{\beta_1-\beta_0}{\beta_1-\beta_2}\frac{\beta_3-\beta_2}{\beta_3-\beta_0} (3)
$$
の関係があることは容易に証明される．
ふーん。
しかし，さっきの1次変換がちゃんと楕円積分になって(2)式のように因数分解できることは何が保証してるんです？
こういうこと？とりあえずこういうことができるってことで進めます。あと，(3)式は左辺に代入して計算したら証明できます。
次は$${\beta_1, \beta_0, \beta_3}$$をそれぞれ0, 1, ∞としてます。
そんな急に無限大とか持ってきていいのか？まあいったん置いときます。
ちなみに，(3)式の左辺は定数なので $${\beta}$$ は4つとも任意にとることはできませんが3つは任意に定められます。という前置きはあります。
とにかく，そうすると逆に3式から
$$
z=\frac{\alpha_3\left(\alpha_1-\alpha_0\right)\zeta-\alpha_1\left(\alpha_3-\alpha_0\right)}{\left(\alpha_1-\alpha_0\right)\zeta-\left(\alpha_3-\alpha_0\right)}
$$
という最初のの1次変換をαで表せます。具体的には最初の1次変換の
$$
A= \alpha_3(\alpha_1-\alpha_0), B=\alpha_1(\alpha_0-\alpha_3), C=\alpha_1-\alpha_0, D=\alpha_0-\alpha_3
$$
です。
次の(4)式
$$
\int R\left\{z,\sqrt{\varphi(z)}\right\}dz=\int R_1\left\{\zeta,\sqrt{\zeta\left(1-\zeta\right)\left(1-\lambda\zeta\right)}\right\}d\zeta (4)\\
\lambda=\frac{\alpha_1-\alpha_0}{\alpha_1-\alpha_2}\frac{\alpha_3-\alpha_2}{\alpha_3-\alpha_0}
$$
は元のφ(z)の式に代入して，上の手書きの式の変形にさっきのABCD代入すれば簡単にできるっぽいです。
ちゃんとはやってませんが，まあなります。なるはずです。
そして，今はα1，α0，α3を０，１，∞ としてますがどのαを０，１，∞ にするかで上述のλの値が変わる。
そらそう。
αたちは対等な立場なんだからどのαがどれでもいいはず。
値が変わるとはいっても全部で4P3=24通りのうち4通りは同じλになり，ほかは(5)に示すように，
$$
\lambda,\ \frac{1}{\lambda},\ 1-\lambda,\ \frac{1}{1-\lambda},\ \frac{\lambda}{\lambda-1},\ \frac{\lambda-1}{\lambda}
$$
となる。らしい。そして，性質をいくつか調べた結果，
すなわち (5) の六つの一次関数は一つの有限群を作っている．
らしい。てかこういうのって証明せんでいいのか？まあやった方がいいんだろうな。今度します。
さらに，(5)の6つはαの取り方にかかわらず下図の6領域に一つずつ含まれるらしい。Yは虚軸だと思います。
とくに射線部は基本領域と呼ぶことにするらしいです。
全然確かめてないので「らしい」と言わざるを得ない。
てか，その性質はなんかいいことあるの？あるわな。
ここからは具体例を見ます。
例えば α0=0，α1=1，α2=2，α3=i とすれば，非調和比の値が基本領域に入るような順序は次の四通りだけである．
$$
\left(01i2\right)=\left(102i\right)=\left(2i10\right)=\left(i201\right)=\frac{3+i}{4}
$$
さて (4) においてさらに
$${\zeta=\xi^2}$$とおけば
$$
\int R_1\left\{\xi^2,\xi\sqrt{\left(1-\xi^2\right)\left(1-\lambda\xi^2\right)}\right\}2\xi d\xi\\
=\int R_2\left\{\xi,\sqrt{\left(1-\xi^2\right)\left(1-\lambda\xi^2\right)}\right\}d\xi
$$
のような形になる，ただしR2 はまた一つの有理関数である．この最後の形においては通常 λ の代わりに k^2 と書く．しかし根号の中を
$$
\left(1-\zeta^2\right)\left(1-k^2\zeta^2\right)
$$
の形にするのが目的ならば上記の手続きでなく，ただ一回の一次変換でも出来る．次にこれを述べる．
了解。ありがとう。今，一次変換をしてるのはzとαの2回ですか。これが1回で済むと。
しかし，この形の何がいいのかもまだわかってないのでそれも教えてな。
続きます。
P.S.中盤何ページかチラチラ読んだんですけど，リーマン面とか出てきてるんで多分どっかで複素関数論復習編が始まります。かなり嫌です。
10/30 複素関数論を復習してたらやる気なくしました。