2023. 3. 22 今日の自作問題
こんばんは！pomodor_ap です. 今日の自作問題はこちらになります.
300 点～400 点くらいの幾何です.
（以下，ヒント・解答です.）
ヒント
共円を見つけましょう.
解説
$${\angle BEC = \angle BDC = \angle QPB = 90^{\circ}}$$ より，$${4}$$ 点 $${B, E, D, C}$$ と $${Q, P, D, C}$$ はそれぞれ同一円周上にあります. よって，以下のように角度計算ができます.
$${\angle PCQ = \angle PDQ = \angle ECB}$$
よって，$${BC}$$ は $${\angle QCH}$$ を二等分します. したがって，$${QC=5x, HC=3x}$$ と表せます. ここで，三平方の定理から $${QC^2-HC^2=QD^2-HD^2=12^2-4^2=128}$$ なので，$${16x^2=128}$$. よって $${x^2=8}$$ です.
したがって，$${BC^2-HC^2=BD^2-HD^2=49-16=33}$$ より，$${BC^2=9x^2+33=\textbf{105}}$$ がわかります.
解答 : $${105}$$
ありがとうございました！感想を教えてくれるととても喜びます.