【粒子法 MPS法】HL法について誰か教えてくださーい！
書籍：粒子法:連続体・混相流・粒状体のための計算科学
P.83 HS法 ポアソン方程式生成項の高精度化
P.85 HL法 ラプラシアンモデルの高精度化
P.87 ECS法 ポアソン方程式生成項の誤差補償
P.92 GC法 勾配モデルの高精度化
P109 DS法 人工斥力導入による安定化
P118 SPP法 表面粒子の境界条件適正化
P124 WPP法 壁面における境界条件適正化
この書籍に基づいて粒子法（MPS法）の高精度化に挑戦しているのだけれども、自分の理解度が低いためにわからないことがあるね。テーラー展開の１次精度を満たすように計算アルゴリズムの導出を行うHL法とGC法について、導出と関係性に矛盾があるような気がして、つまずいているよ。MPS法のスペシャリストが見ていましたら、ご教示をお願いできませんでしょうか。
疑問点１：HL法の導出過程でSPI法の勾配モデルを用いる点
SPI法はMPS法の対を成す粒子法の代表的な手法だね。MPS法の場合、粒子$${i}$$の位置におけるスカラー関数$${ \phi }$$の勾配は、近傍の粒子（$${j}$$）の位置における$${ \phi }$$を用いて定義されるね（書籍p.29 (2.111)）。
$$
\langle \nabla \phi \rangle_i =\frac{{\rm dim}}{n^{(0)}} \sum\limits_{j=1}^N \frac{ \phi_j-\phi_i}{|\boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i|^2}\,(\boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i)\, \omega(|\boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i|)
$$
一方のSPI法の場合、勾配モデルにおける$$\phi$$の空間依存性はカーネル関数の勾配で表しているね（書籍p.25 (2.87)）。
$$
\langle \nabla \phi \rangle_i = \sum\limits_{j=1,\, j\ne i}^N \phi_j \, V_j\, \nabla_i\,\omega(|\boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i|)\ ,\ \ \ V_j =\sum\limits_{k=1,\, k\ne j}^N \frac{1}{ \omega(|\boldsymbol{r}_k - \boldsymbol{r}_j|)}
$$
このようにもMPS法とSPI法は考え方に違いがあるにも関わらず、MPS法における高精度ラプラシアンモデルのHL法の出発として、上記のSPI法の勾配モデルから出発してラプラシアンモデルの導出を行うよ。
$$
\langle \nabla^2 \phi \rangle_i =\frac{1}{n^{(0)}} \sum\limits_{j=1,\, j\ne i}^N \nabla \left[ \phi_j \, \nabla_i\,\omega(|\boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i|) \right] \\
=\frac{1}{n^{(0)}} \sum\limits_{j=1,\, j\ne i}^N \left[ \frac{\partial \phi_{ij}}{\partial r_{ij}} \, \frac{\partial \omega_{ij}}{\partial r_{ij}} +\phi_{ij} \left( \frac{\partial^2 \omega_{ij}}{\partial r^2_{ij}} +\frac{{\rm dim}-1}{ r_{ij}}\, \frac{\partial \omega_{ij}}{\partial r_{ij}} \right) \right]
$$
ただし、$${V_j}$$はMPS法の定義に従って
$$
V_j =\sum\limits_{k=1,\, k\ne j}^N \frac{1}{ \omega(|\boldsymbol{r}_k - \boldsymbol{r}_j|)} \to\frac{1}{n^{(0)}}
$$
としているよ。最後に$${\omega_{ij}}$$をMPS法の定義式を代入することで最終的なHL法ラプラシアンモデルが導かれるよ。
$$
\langle \nabla^2 \phi \rangle_i =\frac{5-{\rm dim}}{n^{(0)}} \sum\limits_{j=1,\, j\ne i}^N \frac{r_e}{|\boldsymbol{r}_j -\boldsymbol{r}_i |^3} \left( \phi_j -\phi_i \right)
$$
以上のようにHL法のラプラシアンモデルの導出にSPI法の勾配モデルを用いる点は、整合性の観点から問題無いのかわからないね。
HL法ラプラシアンモデル
$$
\langle \nabla^2 \phi\rangle_i =\frac{5-{\rm dim}}{n^{(0)}}\sum\limits_{j\ne i}\frac{ r_e}{|\boldsymbol{r}_{j}-\boldsymbol{r}_{i} |^3} \left(\phi_{j} - \phi_{i}\right)
$$
疑問点２：GC法で導出したラプラシアンモデルと一致しない点
前回示したとおり、GC法もテーラー展開の１次精度を満たすようにラプラシアンモデルを導出したね。
$$
\langle \nabla^2 \phi\rangle_i =\frac{{n_i\,\rm dim}^2}{(n^{(0)})^2}\sum\limits_{j\ne i}\frac{ \phi_{j} - \phi_{i}}{|\boldsymbol{r}_{j}-\boldsymbol{r}_{i} |^2}\,\omega(|\boldsymbol{r}_{j}-\boldsymbol{r}_{i}|)
$$
MPS法のカーネル
$$
\omega(|\boldsymbol{r}_{j}-\boldsymbol{r}_{i}|) =\frac{r_e}{|\boldsymbol{r}_{j}-\boldsymbol{r}_{i}|} -1 \ \cdots \ (|\boldsymbol{r}_{j}-\boldsymbol{r}_{i}| < r_e )
$$
を考慮してもHL法のラプラシアンモデルとは一致しないね。
書籍では、仮速度を計算する際の粘性項と圧力ポアソン方程式の左辺にHL法、次時刻の速度を計算する際の圧力勾配にGC法を適用している感じだね。このあたりの整合性について、どなたかご教示頂けますと大変助かります。