AMCday6 - 競技数学初心者のためのOMC入門 後編
またまたこんにちは、ぺぱろにです。
本当だったら内容を1回分にまとめる予定だったのですが、ちょうどその次の日が空いてたので思ったより長くなりそうだったので、また書きます。
前回の最後にも書いた通り、今回は実験とエスパーについて話したいと思います。
前回のURL(AMCday5)
注意
今回の記事はややレベルが高いです。初心者の方はすぐに内容を全部理解できる必要はないです。
「へーそんな技術があるんだなぁ」くらいでいいです。
本題
まずは用語について話します。エスパーというのは聞きなじみがないかもしれません。
まずは実験についてです。
上の漸化式の規則性を考える時に、大体の人はまずnに1,2,3…と代入していって、「あーa_2は2だしa_3は8だなぁ」とか考えると思います。
それが実験です。数式に具体的な値を代入していって規則性がないかとかを確かめたりすることです。使える場面が結構あります。
次はエスパーについてです。
実験の結果や問題文の設定などから、答えを推測することです。答えまでの過程が厳密でない場合が多いので、記述問題の場合はご法度です。OMCは答えさえ合ってればOKなので、その仕様を悪用しようという訳です。
エスパーに関しては厳密性がほぼない以上、間違えてなんぼみたいな所があります。でも、OMCは1問につき9回までペナ(誤答すること)が許されるので大丈夫です。エスパーしてペナをもらったら、おとなしく正攻法でやりましょう。
OMCから2問引っ張ってきたので、エスパーの例を見ておきましょう。
エスパーの例1 (OMC123(D))
僕が実際にエスパーして答えを出した問題です。
意欲がある人は解いてみてください。
下に自分がエスパーしたやり方と答えを載せておくので、解きたい人はこれ以上スクロールしないでください。
エスパー例と答え
先に言いますが、エスパーなので厳密な議論など何もないです。
自分のやり方を載せときます。
僕はまず△ABPが正三角形になるように点Pをとって、点Rがどこにあるかを確認しました。この時、点Oと点Qが一致するので、点Rは△OABの内心とわかりました。ここで、「点Rは必ず△OABの内部にあるのではないか」という推測ができました。
また、答えは√a×πで表されることがわかっているので、「点Rの軌跡は円の一部ではないか」という推測もできます。
これら2つの推測を合わせて、自分の中で「点Rの軌跡は、点Aと点Bを通り、また△OABの内部を通過するような円の一部である」という結論に至りました。さて、後はその円がどのような円かを確認する必要があります。点Rの軌跡が△OABの内部を通過することから、点Rの軌跡がある円の中心をO'とすると、O'は劣弧ABの側にあることがわかります。
また、答えが√a×πと比較的簡単な形で表されるから、「∠AO'Bが比較的簡単な角度(60°とか45°とか)だ」という推測も立ちます。
ここで、僕は「作者側はあまり計算を煩雑にしたくないのではないか」と思って、まずは∠AO'Bが60°となる場合を考えました(△AO'Bが正三角形となる)。ABの長さは24√3(三平方の定理から)なので、この場合求める長さは
2×24√3×π/6=8√3π=√192π
と出せるので、試しに192で提出した所、CAでした。
というわけで、答えは192です。
正攻法
エスパーの例2 (OMC083(E))
こちらも、意欲のある人は解いてみてください。
下に自分のやり方と答えを載せておきます。
エスパー例と答え
これも自分のやり方です。
まず、1桁の正整数の場合を考えます。
この場合、条件を満たすのは4と8のみなので、それぞれの2乗の平均は40であり、各位の和は4です。
次に、2桁の正整数の場合を考えます。
この場合、条件を満たすのは44と48と84と88なので、それぞれの2乗の平均を頑張って計算すると、4760となり、各位の和は17です。
また、3桁の正整数の場合、同様に条件を満たす数の2乗の平均を超頑張って計算すると、483960となり、各位の和は30です。
この時点で、1桁の正整数のとき4、2桁の正整数のとき17、3桁の正整数のとき30だから、「4,17,30」で等差数列が見えます。
n桁の正整数の場合、条件を満たす数の2乗の平均の各位の和は13n-9だから、3123桁の場合、Mの各位の和は
13×3123-9=40590
なので、40590で提出した所、CAでした。
よって、答えは40590です。
正攻法
配点的にはこちらの方が難しいですが、エスパーの難易度はこっちの方が下かも。
エスパーの例3 (OMC064(B))
これはどうでしょうか。
下にエスパー例と答えを出しておきます。
エスパー例と答え
これは自分のやり方ではないです。色々な人がやっていたエスパー方法です。
20+27+21=68
よって求める値は68 → CA。
以上です。これも立派なエスパーです。僕はこの問題が解けなくて、このやり方を知って膝から崩れ落ちました。正攻法
まとめ
どうだったでしょうか。おそらくこの記事を読んだ初心者の方のほとんどが「難しい」と思ったのではないでしょうか。
でも大丈夫です。エスパーはできなくてもOMCは十分楽しむことはできます。
ただ、いくつか言っておきたいことがあって、わからないと思ったら実験をする癖をつけましょう。これだけでもある程度解ける問題の幅は広がります。
また、エスパーをして解いた問題はあとで必ず公式解説を読みましょう。
そして正攻法に至るために自分の足りなかったピースを埋めましょう。
それでは、良いOMCライフを！