(ax+b)^2で割った余り

整式$${P(x)}$$を$${x-1}$$で割ると$${-1}$$余り、$${x+1}$$で割ると$${3}$$余る。
（１）$${P(x)}$$を$${x^2-1}$$で割ったときの余りを求めよ。
（２）$${P(x)}$$を$${(x-1)^2}$$で割ったときの余りが定数であるとき、$${P(x)}$$を$${(x-1)^2(x+1)}$$で割ったときの余りを求めよ。
                              （東京女子大）

【解答】
「整式$${P(x)}$$を$${x-1}$$で割ると$${-1}$$余り、$${x+1}$$で割ると$${3}$$余る」ので、それぞれの割り算の商を$${Q_n(x) (n=1,2)}$$とすると、次の式が成り立つ。

$$
P(x)=(x-1)Q_1(x)-1\\P(x)=(x+1)Q_2(x)+3
$$

よって、

$$
P(1)=-1,P(-1)=3   ･･･①
$$

（１）
$${x^2-1=(x+1)(x-1)}$$である。また、「$${P(x)}$$を$${x^2-1}$$で割ったときの余り」は$${x}$$の整式であり、その次数はたかだか$${1}$$である。よって、$${a,b}$$を実数とし、この割り算の商を$${Q_3(x)}$$とすれば、次の式が成り立つ。

$$
P(x)=(x+1)(x-1)Q_3(x)+ax+b   ･･･②
$$

①②より

$$
P(1)=a+b=-1\\P(-1)=-a+b=3\\2a=-4\\2b=2\\(a,b)=(-2,1)
$$

よって、$${\underline{[答]:-2x+1}}$$

（２）
「$${P(x)}$$を$${(x-1)^2(x+1)}$$で割ったときの余り」はたかだか$${2}$$次の整式である。この割り算の商を$${Q_4(x)}$$とすると、$${c,d,e}$$を実数として、次の式が成り立つ。

$$
P(x)=(x-1)^2(x+1)Q_4(x)+cx^2+dx+e   ･･･③
$$

ここで、「$${P(x)}$$を$${(x-1)^2}$$で割ったときの余りが定数である」という条件を踏まえて、式③をじっくり観察しよう。

$$
P(x)=(x-1)^2\{(x+1)Q_4(x)\}+cx^2+dx+e
$$

とみれば、「$${P(x)}$$を$${(x-1)^2}$$で割ったときの余り」は、「$${cx^2+dx+e}$$を$${(x-1)^2}$$で割ったときの余り」に他ならないことがわかる。後者の割り算は$${2}$$次式を$${2}$$次式で割っているので、その商は$${0}$$次式、すなわち定数である。また、$${(x-1)^2=x^2-2x+1}$$なので、

$$
cx^2+dx+e=c(x^2-2x+1)+2cx-c+dx+e\\=c(x^2-2x+1)+(2c+d)x-c+e\\=c(x-1)^2+(2c+d)x-c+e
$$

すなわち、$${cx^2+dx+e}$$を$${(x-1)^2}$$で割ったときの商は$${c}$$、余りは$${(2c+d)x-c+e}$$である。そして、この余り$${(2c+d)x-c+e}$$は「$${P(x)}$$を$${(x-1)^2}$$で割ったときの余り」でもあり、これが定数であるための条件は、

$$
2c+d=0\\d=-2c   ･･･④
$$

①③より、

$$
P(1)=c+d+e=-1   ･･･⑤\\P(-1)=c-d+e=3   ･･･⑥
$$

④⑤⑥を連立方程式とみなして解くと

$$
(c,d,e)=(1,-2,0)
$$

よって、$${\underline{[答]:x^2-2x}}$$

【コメント】
このように、$${(ax+b)^2}$$で割る場合、因数定理だけでは、得られる情報が不足します。
本問は、既知の式の割り切れる部分と割り切れない部分に着目して次数を下げることにより解決しました。