n次元ってなに？1/4~具体例から学ぶ~

こんにちは、ぱたです。

皆さんは「〇次元」という言葉を聞いたことがあるでしょうか？おそらく1回はあると思います。

皆さんは我々が3次元に生きている、という事実はご存知のことと思います。

では、「3次元」という言葉の厳密な定義を知っていますか？

おそらく大学で数学を学んでいるわけでもない限りはせいぜい、

「縦、横、高さの3要素があるから3次元なんでしょ？」くらいでしょう。

これ、実は合っているようで間違っています。

じゃあ4次元はどうなの？

5次元は？6次元は？

そもそも次元というのは自然数しかないの？
(-1次元とか、√2次元とかはないの？)

考えうる疑問は山ほどあることと思います。

今回はn次元を数学的に、かつ厳密に定義していきたいと思います。

とはいえいきなりガチガチの数学的定義を提示するのはヤバいと思いますので、まずは日常的な具体例を導入として例示します。

先ほど触れた3次元について、「たて、よこ、高さの3要素があるから3次元なんでしょ？」というのは、実は立派な3次元の一例ではあります。

ただ、3次元は(たて、よこ、高さ)だけではなく、無数にあります。これについては後述する次元の定義を読めばすぐに分かります。

次に2次元について触れてみましょう。

アニメ好きの方々のことを2次元好きというように、2次元の圧倒的代表例としては「平面の世界」が挙げられます。

平面の世界は(たて、よこ)の2つの要素で構成されているから、2次元の1種です。

では、1次元を考えてみましょう。

1次元はあまりなじみがないかもしれませんが、代表例としては(たて)のみの1要素で構成されている世界が挙げられます。

これはいわば「直線」を表します。

ここで、「え？ななめってる直線は1次元ではなく2次元じゃね？」と思う人は2流です。

何も思わない人は3流です。

「いやいや、ななめってるのも含めて、任意の直線は1次元で表せるよ」と思う人は1流です。

そもそも、どの方向を「たて」とするのかは主観的に決めなければならないものです。

数学は「物事を客観的に捉え、本質を見抜く」学問です。

よって、所謂「ななめってる」直線もその向きを「たて」と見なすと(その向き以外に直線はないので)、1次元とみなすことになります

よって、「直線」は1次元の世界の代表例となります。

次に0次元について考えてみましょう。

は？と思うかもしれませんが、今までの流れから考えると、「要素がない、どの方向、要素に対しても広がりがない」世界のことを指します。

それはどんな世界なのか？

ズバリ、「点の世界」です。

点はどの方向にも広がりません。どの要素に関しても広がりはありません。

よって、点はいかなる要素も持ちません。

注:もちろん、大きさや長さも定義できません。我々が紙に書く点は、厳密には点ではなく図形です。どうしても、長さや大きさを持ってしまうからです。限りなく細い鉛筆の芯でもなければ、数学的意味での「点」は決して表すことはできません。)

今回は以上です。具体例に触れると、だいたい次元とは何か分かってきたことだと思います。

次回はいよいよ本格的に「n次元」を定義していきます。

次の記事→ https://note.com/pata0106/n/nfafef48fb9ef