t分布とカイ2乗分布の関係式

標準正規分布$${N(0, 1)}$$に従う$${Z}$$と自由度$${n}$$の$${\chi^2}$$分布$${\chi_{n}^2}$$があり、これらが互いに独立であるとき、$${t}$$は自由度$${n}$$の分布は下記の$${t}$$分布に従う

$$
\begin{aligned}
&t_{(n)} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi_{(n)}^2}{n}}}
\end{aligned}
$$

備忘録がてらここで証明していく

t分布の定義式から始める

不偏分散を$${S}$$
$${X_1,X_2,\cdots,X_n}$$を正規分布$${N(\mu, \sigma^2)}$$に従う母集団から抽出したサンプルサイズ$${n}$$の標本とする

まずt分布の定義から

$$
t_{(n-1)} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{S^2}{n}}}
$$

なのでこれを変形していくと

$$
\begin{aligned}
&t_{(n-1)} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{S^2}{n}}}
\\{}\\
&= \frac{\bar{X}- \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} × \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} × \frac{1}{\sqrt{\frac{S^2}{n}}} 
\\{}\\
&= \frac{\sigma}{S} × Z
\end{aligned}
$$

となる

不偏分散をカイ2乗分布式に置き換える

ここで

$$
S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i}(X_i - \bar{X})^2}
$$

$$
\chi^2_{(n-1)} = \frac{\sum_{i} (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}
$$

なので$${S}$$と$${\sum_{i}(X_i - \bar{X})^2}$$を消去すると

$$
\begin{aligned}
&t_{(n-1)} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{S^2}{n}}}
\\{}\\
&= \cdots
\\{}\\
&= \frac{\sigma}{S} × Z
\\{}\\
&= \sigma × Z × \frac{1}{\sqrt{\frac{\sum_{i}(X_i - \bar{X})^2}{n-1}}}
\\{}\\
&= \sigma × Z × \frac{1}{\sqrt{\frac{\chi^2_{(n-1)}  ×  \sigma^2}{n-1}}}
\\{}\\
&= \frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2_{(n-1)}}{n-1}}}
\end{aligned}
$$

これを自由度$${n}$$に一般的にすると

$$
\begin{aligned}
&t_{(n)}  = \frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2_{(n)}}{n-1}}}
\end{aligned}
$$

つまりt分布は標準正規分布を同じ自由度の
$${\chi^2}$$分布成分で調整された分布だということがわかる