バーゼル問題

 バーゼル問題とは

端的にいうと、バーゼル問題というのは結局、
  $${\displaystyle\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}}$$
という事なのですが、よく意味が分からないと思うのでもうちょっと詳しく説明すると、ようするに
  $${\displaystyle\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}}$$
ということです。
今日はこれを示していこうと思います。
自然数の二乗の逆数の和が円周率の二乗を6で割ったものになるというとてもきれいな等式ですね。
ただの多項式の和（無限和）なのに円周率πが出てくるのは面白いです。
これを導き出したオイラーはすごいです。

～バーゼル問題の証明～

ここでは突然ですが
$${\displaystyle\frac{sin(x)}{x}}$$
を用いて考えていきたいと思います。
まず正弦関数のx=0周りでのテイラー（マクローリン）展開を考えると
$${\displaystyle sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots}$$
となり辺々をxで割ると（便宜上$${x \not = 0}$$とする）
$${\displaystyle\frac{sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots}$$　・・・①
がもとまる。
ここでsin(x)の零点が$${x = n\pi (n \in \Z)}$$であるので、
x=0をのぞいて考えると①のもつ零点は$${x = n\pi (n \in \Z \backslash \{0\})}$$となる。
実際、$${\displaystyle\lim\limits_{\infty → 0} \frac{sin(x)}{x} = 1}$$なのでx=0は零点でない。
よって①の式は以下のように無限乗積展開（因数分解が無限に続くやつ）できる。
$${\displaystyle\frac{sin(x)}{x} = \Bigl(1 - \dfrac{x}{\pi}\Bigl)\Bigl(1 + \frac{x}{\pi}\Bigl)\Bigl(1 - \frac{x}{2\pi}\Bigl)\Bigl(1 + \frac{x}{2\pi}\Bigl)\Bigl((1 - \frac{x}{3\pi}\Bigl)\Bigl(1 + \frac{x}{3\pi}\Bigl)\dots}$$

この式をさらに変形して

$${\displaystyle\frac{sin(x)}{x} = \Bigl(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\Bigl)\Bigl(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\Bigl)\Bigl(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\Bigl)\dots}$$ ・・・②
が得られる。
①と②のxについての二次の項の係数だけを比較すると

$$
\displaystyle- \Bigl(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} +\frac{1}{9\pi^2} + \dots\Bigl) = - \frac{1}{3!} \\  \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\,\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$

よって与式を得た。■

証明はこんな感じです。直感的にわかりやすくていいですね。オイラーって賢い。
厳密じゃないところとかがあるのは許してね。
メインは終わったのであとはコラムみたいなものです。
ぜひとも読んでいってください

ζ関数について

結局バーゼル問題にある
$${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}$$
っていうのは実は
$${\displaystyle\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}$$・・・＊
で定義されるζ関数のs=2の時の話です。
ここではζ関数の変数sがさも実数であるかのように話していますが本来は実数ｓに対して
$${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \quad(s \in \R)}$$
という形のものが存在し、実数のみに定義された上記の関数を解析接続というものを用いて Re(s)>1 を満たす複素数に拡張したものがさっき上げたζ関数(＊)になります。
なぜRe(s) > 1 という条件があるかというと(＊)のζ関数の表示式ではRe(s) ≦ 1 では値が発散してしまうので数式としてほとんど意味をなさなくなってしまうからです。
そこでそれをさらに下記の表示式を用いて解析接続を行うとやっと複素平面全体で議論を行えるようになります。
$${\displaystyle\zeta(s) = \frac{1}{1-s} \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{(n + 1)^s} - \frac{n-s}{n^s}\Bigl)}$$
世界的に熱心に取り組まれている問題であるリーマン予想は複素平面全体に定義されたζ関数の非自明な零点は Re(s) = $${\frac{1}{2}}$$を満たすというものです。ちなみに自明な零点とはｓが負の偶数を取るときのことです。
このリーマン予想とは任意の実数xに対してx以下の素数の数を返す関数π(x)の近似を考える素数定理というものと同値であることが知られており、リーマン予想が解決されればより詳しく素数分布が解明されることとなります。
よくある誤解なのですが素因数分解の困難さを用いているRSA暗号をリーマン予想の解決によって解読できるようになるということを言っている人がいますが、リーマン予想はそこまで強力なものでは無いです。

sinx/xのグラフ

$${\displaystyle\frac{sin(x)}{x}}$$のグラフってこんな感じなのですが、証明で零点を調べた通りの解の分布です。