大学数学への接続 行列編 回答・解説

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　この記事はおーだーが個人的に作成している教材の回答編となっています。本編教材のpdfが欲しい方は直接おーだーに連絡をお願いします。

この教材の目的

この教材は大学数学に必要な基本的な用語の理解と、高校数学と大学教養数学の接続を目的として作成する。
よって意図的に省いている分野が存在するので、学習の際は注意されたし。

7⃣ 行列の基本変形 ①

[練習](1)

$$
\begin{pmatrix}
4 & 8 \\
2 & 6
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
\frac{4}{4} & \frac{8}{4} \\
\frac{2}{2} & \frac{6}{2}
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}
$$

[練習](2)

$$
\begin{pmatrix}
4 & 8 \\
2 & 6
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
2 & 6 \\
4 & 8
\end{pmatrix}
$$

[練習](3)

$$
\begin{pmatrix}
4 & 8 \\
2 & 6
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
4-2 & 8-2 \\
2 & 6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
2 & 6
\end{pmatrix}
$$

[練習]

$$
PA=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 8 \\
2 & 6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 6 \\
4 & 8
\end{pmatrix}
=B_2
$$

[練習] → (回答略)

７⃣ 行列の基本変形②

[練習]

(1) 簡約化されていない ※条件1に反している
(2) 簡約化されていない ※条件2に反している
(3) 簡約化されていない ※条件3に反している
(4) 簡約化されていない ※条件4に反している
(5) 簡約化されている

７⃣ 行列の基本変形③

[練習]

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1& 2 
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
2-1*2 & 1-0*2 & -1-(-2)*2 & 1-1*2 \\
1-1 & -1-0 & 1-(-2) & 2-1 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 3 & 1 
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -1 \\
0 & -1+1 & 3+3 & 1+(-1) 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 6 & 0
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & 2 & -1 
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -1 & 1 \\
-1+1 & 0+0 & 2+(-2) & -1+1 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
2-1*2 & 1-0*2 & -1-(-2)*2 & 1-1*2 \\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
$$

[練習]

$$
B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
-1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 5 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{5} \\
0 & 5 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{5} \\
0 & 1 & \frac{5}{3} \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\therefore rankB=2
$$

７⃣ 行列の基本変形④

[練習]

$$
(AI) = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1 & -2 & 1
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -2 & 4 & -3 \\
0 & 1 & 0 & 2 & -3 & 2\\
0 & 0 & -1 & 1 & -2 & 1
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -2 & 4 & -3 \\
0 & 1 & 0 & 2 & -3 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1 & 2 & -1
\end{pmatrix}
\therefore
A^{-1} = 
\begin{pmatrix}
-2 & 4 & -3 \\
2 & -3 & 2\\
-1 & 2 & -1
\end{pmatrix}
$$

[思考]

掃き出し法で逆行列が求まる理由は、逆行列の定義に立ち返ると分かりやすい。ある正則行列$${A}$$があるとき、$${AA^{-1}=I}$$ となるような行列$${A^{-1}}$$のことを$${A}$$の逆行列と言いました。
この積は可換であったので、$${A^{-1}A=I}$$とすると、これは行列Aに対して左から正則行列を掛けている格好になります。
つまり、$${A}$$に左から適当な正則行列(今回は$${A^{-1}}$$)を掛けると$${I}$$になるということが言えます。これは行基本変形の考え方と全く同じなのです。
逆に$${A}$$を$${I}$$にするために行った行基本変形と同じ基本変形を$${I}$$に行うことは、$${I}$$に$${A^{-1}}$$を掛けていることと同じです。
つまり、以上のことから掃き出し法を用いることで逆行列を求めることが出来るのです。

８⃣ 連立一次方程式①

[練習]

$$
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 &| &2 \\
1 & 0 & 2 &| &4 \\
2 & 0 & -1 &| &0
\end{pmatrix}
$$

[練習]

$$
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 3 &| &-1 \\
2& 0 & 4 &| &8 \\
1 & -1 & 2 &| &7
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & -2 & -3 &| &1 \\
2& 0 & 4 &| &8 \\
1 & -1 & 2 &| &7
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
1 & -2 & -3 &| &1 \\
0 & 4 & 10 &| &6 \\
0 & 1 & 5 &| &6
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
1 & -2 & -3 &| &1 \\
0 & 2 & 5 &| &3 \\
0 & 2 & 10 &| &12
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 &| &4 \\
0 & 2 & 5 &| &3 \\
0 & 0 & 5 &| &9
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 10 &| &20 \\
0 & 2 & 5 &| &3 \\
0 & 0 & 5 &| &9
\end{pmatrix}
→→
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 &| &2 \\
0 & 2 & 0 &| &-6 \\
0 & 0 & 5 &| &9
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &| &\frac{2}{5} \\
0 & 1 & 0 &| &-3 \\
0 & 0 & 1 &| &\frac{9}{5}
\end{pmatrix}
\therefore 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{2}{5} \\
-3 \\
\frac{9}{5}
\end{pmatrix}
\Leftrightarrow
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{2}{5} \\
-3 \\
\frac{9}{5}
\end{pmatrix}
$$

８⃣ 連立一次方程式②

[練習](1)

$${x_1=0 x_2=0 x_3=0}

[練習](2)

解は存在しない

[練習](3)

$${x_1=2k , x_2=\frac{1}{3}-\frac{10}{3}k, x_3=k}$$ (kは実数)

[練習](4)

$${x_1+5x_3-4x_4=0,x_2-3x_3+2x_4}$$ が得られ、今自由度2なので
$${x_3=k,x_4=l}$$(k,lは実数)と置くと、
$${x_1=-5k+4l,x_2=3k-2l}$$

[練習](5)

$${x_1+x_3+x_4=2,x_2-x_3=-1}$$が得られ、今自由度2なので
$${x_3=k,x_4=l}$$(k,lは実数)と置くと、
$${x_1=-k-l+2,x_2=k-1}$$