（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介７ー問題の意味が小学生でもわかる高額懸賞金数学歴史的未解決問題

　「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」は「第１章　新手法の紹介の前に」からご覧ください。

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「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」では第Ｃ１章からご覧ください。
　第Ｃ１章には（続）新解析手法の各Ｃ・章へのリンクが貼ってあります。

第Ｃ５章　ＣＳ直線式の美しい法則と公式

　第Ｃ１章と第Ｃ２章はコラッツ予想の論法の是非に活用できる内容、第Ｃ３章は新手法を使ったコラッツ予想の解明のヒントとなる内容です。第Ｃ４章で連続関数に触れましたので、ＣＳ直線式の美しい法則と公式について触れておきます。

　ＣＳ直線式：

$$
\begin{array}{}    
&(c4.1)&    & f_{c}(x)=\cfrac{3}{2}x+\cfrac{1}{2}& &(0\le x <1/3)& \\\
\\\
&(c4.2)&   & f_{s}(x)=\cfrac{3}{4}x-\cfrac{1}{4}& &(1/3 \le x <1)
\end{array}
$$

（$${x \ge 0}$$ としていますが、ＣＳ直線式では$${(0, 1/2)}$$は含みません。$${(c(1), c(1))}$$は原点で、解析には$${x=0}$$も含みますので、それにあわせて、$${x \ge 0}$$としたまでです。）

図Ｃ５－１　ＣＳ直線のグラフ

　ＣＳ直線式には交換則が成立します。

　$${(6.1)     \bf f_{c}(f_{s}(x))=f_{s}(f_{c}(x))}$$（$${x}$$は実数）

$$
\begin{array}{}    
& f_{c}(f_{s}(x))=\cfrac{3}{2} \Big (\cfrac{3}{4}x-\cfrac{1}{4}\Big)+\cfrac{1}{2}=\cfrac{9}{8}x+\cfrac{1}{8}&  \\\
\\\
& f_{s}(f_{c}(x))=\cfrac{3}{4}\Big (\cfrac{3}{2}x+\cfrac{1}{2}\Big)-\cfrac{1}{4}=\cfrac{9}{8}x+\cfrac{1}{8}& 
\end{array}
$$

 　交換則を使えば、$${f_{c}}$$を$${p}$$回、$${f_{s}}$$を$${q}$$回行った後の以下の公式を導くことができます。$${n=p+q}$$

　$${(6.2)       \bf F_{n}(x)= \Big(\cfrac{3}{2}\Big)^p\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^q (x+1)-1}$$

　$${f_{c}(x), f_{s}(x), F_{n}(x)}$$は全て$${(-1, -1)}$$を通ります。
式には分数は$${3/2}$$ と$${3/4}$$のべき乗しかなく、 $${p, q}$$が何回であろうと、どの直線も全て$${\bf (-1, -1)}$$を通る、とは美しいですね。

数学的帰納法で(6.2)を証明しておきます。
$${n=1}$$のとき$${(p,q)=(1,0)}$$もしくは$${(p,q)=(0,1)}$$を(6.2)に代入すれば、明らかに成立。

$${F_{n+1}(x)=\cfrac{3}{2}F_{n}(x)+\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2} \Bigg( \Big(\cfrac{3}{2}\Big)^p\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^q x+\Big(\cfrac{3}{2}\Big)^p\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^q-1\Bigg)+\cfrac{1}{2}}$$

$${= \Big(\cfrac{3}{2}\Big)^{p+1}\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^q x+\Big(\cfrac{3}{2}\Big)^{p+1}\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^q-1}$$

$${F_{n+1}(x)=\cfrac{3}{4}F_{n}(x)-\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4} \Bigg( \Big(\cfrac{3}{2}\Big)^p\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^q x+\Big(\cfrac{3}{2}\Big)^p\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^q-1\Bigg)-\cfrac{1}{4}}$$

$${= \Big(\cfrac{3}{2}\Big)^{p}\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^{q+1} x+\Big(\cfrac{3}{2}\Big)^{p}\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^{q+1}-1}$$

よって$${n+1}$$でも成立。

尚、ＣＳ直線式のグラフから以下は自明です。
$${\bf f_c}$$は２回以上は連続して続かない、$${\bf f_s}$$は３回以上は連続して続かない、です。

　この公式も使って、今後諸解法を検討していくことも考えています。

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新手法第１章から第８章および（続）新手法第Ｃ５章
までの変数・定義語・関数

$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、Ｓ変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ空間、ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、不動点、究極的な周期点、クモの巣図法、ＣＳ交互変換プロット、不動点$${\left(\cfrac{1}{3},0\right)}$$、
ＣＳ写像、最終点、最終到達点、３Ｃー１変換、３Ｓー１変換、
Ｃグループ、Sグループ、ａ点、ｂ点、ｃ点、ｄ点、
シャルコフスキーの定理、シャルコフスキー順序
距離$${D}$$、$${c(N)}$$、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${Nv}$$、$${Nw}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${Mo}$$、$${cs(mo)}$$、$${s(Mo)}$$、$${f}$$、$${g}$$
$${\epsilon_b}$$、$${\epsilon_c}$$、$${b_{\epsilon}}$$点、$${ c_{\epsilon}}$$点、
$${u_{cs}(x)}$$、$${u_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${u_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$、
$${d_{cs}(x)}$$、$${d_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${d_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$、
$${\bf F_{n}(x)}$$

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