コラッツ予想解明への新解析手法の紹介６ー 問題の意味が小学生でもわかる数学の高額懸賞金歴史的未解決問題
第５章 カオス力学１次元写像
今回の記事（６回目）をご覧になる前に「第１章 新手法の紹介の前に」をご覧ください。
また第１章には各章へのリンクが貼ってあります。
「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」では第Ｃ１章からご覧ください。
第Ｃ１章には（続）新解析手法の各Ｃ・章へのリンクが貼ってあります。
５．１ コラッツ予想（ＣＳ空間）と１次元写像の類似性
無限に繰り返される硬貨投げで表が出たらＡ、裏が出たらＢとします。これを無限に並べていくと、無数の配列が得られます（出現確率の大小はありますがそれは関係ありません）。
$${AABABBABBAA\cdots}$$
$${BABAABBABAA\cdots}$$
など無数のパターンがあります。
カオス力学の１つに、ある簡単な１次元写像$${f(x)}$$を使えば
どんなパターンでも初期値次第で表せる
というのです
これをはじめて知ったときは衝撃的でしたね
であれば自然数を１から順番に素数ならＡ、そうでない（合成数）ならＢと対応させれば、素数パターンもある初期値次第で決めることができることになります。Ａ、Ｂの例については図５－２参照。
コラッツ予想の解明に取り組んでいる読者は自分も含め、はまる性格だと思います。このカオス１次元写像にもはまる可能性大です。数学の金字塔
素数解明にもつながるかもしれません。そうなればコラッツ予想以上の以上です。
ある１次元写像$${f(x)}$$を使えばどんなパターンも作り出せるとは
数列 $${\{x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n, x_{n+1}, \cdots\}}$$ において
初期値$${x_0}$$の取り方次第で
(a) 全ての値が異なる数列を作り出すこともできる
(b) 初めから、もしくは途中から同じ値になってしまう数列を作り出す
こともできる。その周期は２周期$${abab\cdots}$$、３周期
$${abcabc\cdots}$$・・・、どの周期でも作り出せる
(c) ある値に近づく数列も作り出せる
というのです。
まさにコラッツ予想の解明の手がかりになるではありませんか
(a)はコラッツルールに従った数列が無限のどこかにいってしまう
(b)はある数字に戻ってきてしまう
(c)は１に到達する
に対応しています。
新手法は一般コラッツ空間の数字配列を０以上１未満に変換した世界での手法で、カオス一次元写像の理論を使えるようにしたわけですが、カオス１次元写像にはまって解明のヒントにしてください。
新手法はその導入部分です。同時に素数解明のヒントも思いつくかもしれません。コラッツ、カオスで検索しますと他にも先生方が取り組んでおられますが、新手法は全く異なる手法です。既に紹介した図５－１（中と右）画像は、googleキーワード検索でもこのnote記事以外に見当たりません。
右図はプロット点がCS直線式の近くに存在している画像です。
完全に一致した画像は第４章図４－１参照
１次元写像の特性は新手法の紹介にも使いますので第５章として紹介するわけですが第３章同様に独立な章としました。新手法と関連する箇所としましてはローレンツプロットで、これを理解すれば新手法は理解できますので、このプロットがどのようなものか幾つかの例で紹介するに留めることにします。上述したどんなパターンでも表せる証明とか、初期値が無理数なら数列が無限回数となる等・・ありますが、そこは記事の範囲を超えますので別サイト等でご確認ください。
５．２ テント写像（１次元写像の例）
ここでは一次元写像の例としまして、以下の式で表されるテント写像を紹介します。
$${ ax (A:0 \le x \le 1/2)}$$
$${(5.1) f(x)=}$$
$${ a(1-x) (B:1/2 < x \le 1)}$$
図５－２は$${a=2}$$としたテント写像です。$${y=x}$$はローレンツプロットをわかりやすくするための補助線です。
数列 $${\{x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n, x_{n+1}, \cdots\}}$$ において、$${x_{n+1}}$$が$${x_n}$$によってのみに決まる、$${x_{n+1}=f(x_n)}$$を考えます。
合成写像で表すと$${\{x_0, f(x_0),f^2( x_0), \cdots, f^n(x_0), f^{n+1}(x_0), \cdots\}}$$となります。$${f^2( x_0)=f(f( x_0))}$$等です。
そして横軸に$${x_n}$$の値を、縦軸に$${x_{n+1}}$$の値をとります。
言い換えますと$${(x_n, x_{n+1})}$$を$${n=0,1,2,3,\cdots }$$と順次プロットしていく、これをローレンツプロットと呼びます。カオス解析の手法の１つです。
一例を以下に示します。
$${x_0=\cfrac{1}{3}}$$のとき、式(5.1)から $${\left\{\cfrac{1}{3}, \cfrac{2}{3}, \cfrac{2}{3},\cdots\right\}}$$ （ａ）
ローレンツプロットは$${\left(\cfrac{1}{3}, \cfrac{2}{3}\right), \left(\cfrac{2}{3}, \cfrac{2}{3}\right), \left(\cfrac{2}{3}, \cfrac{2}{3}\right), \cdots}$$
$${x_0=\cfrac{1}{10}}$$のとき、$${\left\{\cfrac{1}{10}, \cfrac{1}{5}, \cfrac{2}{5}, \cfrac{4}{5},\cfrac{2}{5}, \cfrac{4}{5},\cdots\right\}}$$ （ｂ）
ローレンツプロットは$${\left(\cfrac{1}{10}, \cfrac{1}{5}\right), \left(\cfrac{1}{5}, \cfrac{2}{5}\right), \left(\cfrac{2}{5}, \cfrac{4}{5}\right),\left(\cfrac{4}{5}, \cfrac{2}{5}\right), \cdots}$$
(a)は$${\cfrac{1}{3}}$$を初期値とする１周期軌道、(b)は$${\cfrac{1}{10}}$$を初期値とする２周期軌道と呼びます。ここで $${\cfrac{1}{3}}$$, $${\cfrac{1}{5}}$$, $${\cfrac{1}{10}}$$ は周期点ではなく、究極的には周期的な点、とよびます。
(a)のローレンツプロットが図５－３左図、(b)のローレンツプロットが右図です。初期値$${x_0}$$を$${(x_0,0)}$$としてｘ座標上にとり、ローレンツプロット点を直接結んでいくのではなく$${y=x}$$上の点を介して、矢印で示したような垂直線、水平線を使えば移動していく様子がよくわかるようになります。これをクモの巣図法とよびます。
右図では最終的にはｘ軸上の$${x_2}$$点と$${x_3}$$点を左右に無限に往復する軌道となるわけですが、クモの巣グラフではテント写像上の２点●を$${y=x}$$を介してクルクル回る様子として捉えることができ周期性がわかりやすいです。
では１周期点、２周期点、３周期点はどのようにして求めることができるのでしょうか。
１周期点は$${f(x)=x}$$から求まりますから、図５－４、左図の２点のｘ座標から$${0}$$と$${\cfrac{2}{3}}$$がこれに相当し、不動点とよびます。
２周期点は$${f^2(x)=f(f(x))=x}$$から求まりますから、図５－４、中図の４点のｘ座標が候補となります。$${f^2(x)=f(f(x))=x}$$には$${f(x)=x}$$の解も含まれているので、これを除いた$${\cfrac{2}{5}}$$、$${\cfrac{4}{5}}$$ が解です。
３周期点は$${f^3(x)=f(f(f(x)))=x}$$から求まりますから、図５－４、右図の８点のｘ座標が候補となります。$${f(x)=x}$$の２個の解も含まれているので、これを除いた $${\cfrac{2}{9}}$$、$${\cfrac{2}{7}}$$、$${\cfrac{4}{9}}$$、$${\cfrac{4}{7}}$$、$${\cfrac{6}{7}}$$、$${\cfrac{8}{9}}$$ の６個が解です。
一般にｎ周期点はｎ回写像$${y=f^n(x)}$$と$${y=x}$$の交点のｘ座標全体
（$${2^n}$$個）から$${n}$$の約数$${p}$$に対するｐ周期点全てを取り去った残りとなります。
もう一つの例として、(5.1)式で$${0 < a < 1}$$の場合で$${a=0.7}$$の例を示します。左図は初期値０．４、右図は０．７の場合のクモの巣グラフです。$${x=0}$$が不動点です。０以上１未満のどんな初期値$${x_0}$$から出発しても全て$${n}$$が無限大で$${0}$$に収束します。
他にも有名な１次元写像としてベルヌーイシフト（または２進変換）写像
やロジスティック写像があります。どちらもカオス力学では重要な写像です。他サイト等で確認してみてください。前者は第７章でコラッツ予想との類似性を簡単ではありますが紹介しました。
カオスに関する内容紹介は
カオス１力学系入門（アリクッド・サウアー・ヨーク著 津田監訳）
カオス入門（長嶋・馬場著）
カオスとフラクタル（山口著）
を主に参考にしています。
ローレンツプロットやクモの巣グラフは便利な手法であることはおわかりいただけたと思いますが、よろしければ評価の程お願いします。
第５章までの変数・定義語・関数
$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ直線、Ｓ変換、ＣＳ空間、
ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、究極的な周期点、
クモの巣図法、不動点、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${c(No)}$$、$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、距離$${D}$$、
$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${cs(mo)}$$、$${Mo}$$、$${s(Mo)}$$、
【休憩室】モンスターハンター
各章通して内容がお堅くなってしまいましたが、性格は固くはないですよ。ハマったと言えば、モンスターハンターシリーズには随分ハマりました。これ以前はマリオ、ゼルダの伝説、バイオハザード、ファイナルファンタジー等やっていましたが、これもハマった方ですが、モンスターハンターシリーズが出てからはこれしかやらないようになりましたね。剣さばき技術や戦術も必要で、そういう意味では難易度の高いゲームです。自分の周囲にも最初は面白くてやり始めるのですが、モンスターの難易度が上がっていきますから途中半ば倒せなくなって止めてしまうわけです。
大きい画面でないとやった気がしなくて機種はプレステーションで元祖モンスターハンター、モンスターハンター２、・・・何作目かはわかりませんが数作目のモンスータハンターアイスボーンまで全てこなしました（オンラインのみOKの作品があったと思いますが、これはやりませんでした）。
アイスボーンの龍結晶の地でのイベルカーナのラスボスは時間切れ、アルバトリオンと黒龍、別過去作品でのオンラインのみ登場でしたか、火山でのブラキデイオスのラスボス（最強という意味です）を除き、他シリーズのモンスター含め全てソロで倒しました。youtubeのタイムアタックソロ動画をみると秒単位から３，４分で倒してしまうプレイヤーがいますがそこまでの技量はないですね。
武器はランス主でマイナーな武器、次に大剣と双剣。弓、ハンマー、ライト＆ヘビーボウガンはモンスター種によっては使ってました。太刀は一番人気の武器の一つですが初期シリーズでは使っていました。操虫棍は空中をクルクル回ってお遊びで下位クラスモンスターで使っていましたね。チャアクはテイガレックス位ですか。スラアク、ガンランス、片手剣はあまり使わず、狩猟笛は全く使いませんでしたね。
テーマ曲、各モンスターの登場曲もいい曲が沢山ありますね。ニャンコ村もかわいいです。
現在はコラッツ予想にはまってます（しまいました）ので、アイスボーン以降はやっていません。新作が出たらやるかもしれませんが、以前ほどは凝らないと思いますね。数学未解決問題という世界を知ってしまいましたから。
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