（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介４ー問題の意味が小学生でもわかる高額懸賞金数学歴史的未解決問題
「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」は「第１章 新手法の紹介の前に」からご覧ください。
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「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」では第Ｃ１章からご覧ください。
第Ｃ１章には（続）新解析手法の各Ｃ・章へのリンクが貼ってあります。
第Ｃ３章 ３S＋１変換と３S－１変換のＣＳプロットの比較
Ｃ３．３ ３S＋１変換と３S－１変換のＣＳプロットの比較
Ｃ３．２の最後で、「３Ｓ－１変換のＣＳプロット点も、３Ｓ＋１変換のＣＳプロット点も一見すると類似したプロット点のように見えますが、決定的な違いがあります。この違いが３Ｓ＋１変換ではループは存在せず（少なくとも$${2^{68}}$$以下の奇数に対しては、ループは存在していない）、３Ｓー１変換ではループは存在する（正確には存在してもよい）決定的な要因となります。」と述べました。以下、その違いについて説明していきます。
図Ｃ３－８は 初期値２７（３Ｓ＋１変換）のＣＳプロットグラフ（左）と初期値１５３（３Ｓ－１変換）のＣＳプロットグラフ（右）です。
初期値１５３（３Ｓ－１変換）のＣＳプロットグラフ（右）
決定的な違いとは、「３Ｓ＋１変換ではＣＳプロット点はＣＳ直線より、”必ず上に、近くに”存在しているのに対して、３Ｓー１変換ではＣＳプロット点はＣＳ直線より、”必ず下に、近くに”存在している。」ということです。ただし、３Ｓ＋１変換および３Ｓ－１変換で１に到達する初期値では、最終点はＸ軸上にあり、これは除きます。
上図（右）のｘ＝０近辺のＣＳプロット点がＣＳ直線より上に存在しているように見えますが、表示精度誤差です。部分拡大図を図Ｃ３－９（右）に示しておきます。
初期値１５３（３Ｓ－１変換）は６１に到達した後は、７周期となりました。$${61 \to 91\ \to 17 \to 25 \to 37 \to 55 \to 41 \to 61}$$
７周期（周期数＝ＣＳプロット点の数）のクモの巣グラフも図Ｃ３－１０に示しておきます。図内右端の〇が$${(c(61), c(91))}$$です。
「３Ｓ＋１変換ではＣＳプロット点は最終点を除き、ＣＳ直線より、必ず上に、近くに存在している」は新手法セクション２．３で証明しました。全く同様の方法で、「３Ｓー１変換ではＣＳプロット点は、最終点を除きＣＳ直線より、必ず下に、近くに存在している。」ことは証明できます。
有料記事２．３とほぼ同一内容で、証明にはＣ値やＳ値の式も使用しているため、セクションＣ３．４として有料記事とさせていただきました。セクション２．３を理解している読者であれば、セクションＣ３．４は証明できるはずです。
読者から以下のような声が聞こえてきそうです。
「３Ｓー１変換ではＣＳプロット点は、最終点を除きＣＳ直線より、必ず下に、近くに存在している。」ことは、そういうものとして受け止めることにします。確かに３Ｓ＋１変換のＣＳプロット点とは、ＣＳ直線を境に上下に位置していますから、特性は異なります。だからといって、何故このことが３Ｓ＋１変換ではループは存在せず、３Ｓー１変換ではループは存在する（正確には存在してもよい）決定的な要因となり得るのでしょうか。「３倍して１を足す、と３倍して１を引く」を単に言い換えただけに過ぎないのでは。
この時点では確かにその通りです。第Ｃ４章以降で更に説明を進めていきます。
新手法第１章から第８章および（続）新手法第Ｃ３章（後半）
までの変数・定義語・関数
$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、Ｓ変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ空間、ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、不動点、究極的な周期点、クモの巣図法、ＣＳ交互変換プロット、不動点$${\left(\cfrac{1}{3},0\right)}$$、
ＣＳ写像、最終点、最終到達点、３Ｃー１変換、３Ｓー１変換
距離$${D}$$、$${c(N)}$$、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${Nv}$$、$${Nw}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${Mo}$$、$${cs(mo)}$$、$${s(Mo)}$$、$${f}$$、$${g}$$
Ｃ３．４ ３S－１変換におけるＣＳプロット点とＣＳ直線式の関係
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