（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介５ー問題の意味が小学生でもわかる高額懸賞金数学歴史的未解決問題
「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」は「第１章 新手法の紹介の前に」からご覧ください。
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「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」では第Ｃ１章からご覧ください。
第Ｃ１章には（続）新解析手法の各Ｃ・章へのリンクが貼ってあります。
第Ｃ４章 コラッツ予想のループについての考察
Ｃ４．１ 用語の説明
最初に具体例で説明した方が、内容が把握しやすいので、初期値２７（３Ｓ＋１変換）を例にとって説明します。
図Ｃ４－１（左）は初期値２７（３Ｓ＋１変換）のＣＳプロットグラフで、ＣＳ直線$${f_c, f_s}$$および補助線$${x=1/3, y=1/2}$$も示してあります。 ＣＳプロット点は全部で４１個あります。
図Ｃ４－１（右）はＣＳプロット点のみを表示してあります。
$${f_c}$$より上に、近くに１６個のプロット点があり、これをＣグループと呼ぶことにします。また端のプロット点をそれぞれａ点、ｂ点と呼びます。 $${f_s}$$より上に、近くに２４個のプロット点があり、これをＳグループと呼ぶことにします。また端のプロット点をそれぞれｃ点、ｄ点と呼びます。 ｘ軸上に最終点$${(c(5), c(1))}$$が１個あります。
（右）用語の説明図
Ｃグループ、Sグループ、ａ点、ｂ点、ｃ点、ｄ点は、初期値２７に限らず一般化した場合にも用いることにします。
１以外のループの存在の有無を検討する場合、ｘ軸上にある最終点は考慮する必要ありません。最終点も含んでいるのであれば１に到達する初期値となるからです。
従って１以外のループの存在の有無を検討する場合はＣグループとＳグループのＣＳプロット点のみ考慮すればＯＫです。
Ｃ４．２ 連続関数の定義
なぜ連続関数（連続写像）を考えるかですが、カオス力学な定理（記事６）を適用したいからです。
図Ｃ４－２のグラフはＣグループの全てのプロット点を直線で結び、Ｓグループの全てのプロット点を直線で結んだグラフです。最終点（ｘ軸上）は除いてあります。
直線で結べばそのグラフは必ずＣＳ直線より上にきますから直線で結ぶとしたわけですが、必ずＣＳ直線より上にくる（ベスト）フィット関数でもよいです。
連続させるにはｂ点とｃ点を結びたいわけですが、一般化した場合（可算無限個：後述）にも適用できるように図Ｃ４－３のようにつなげます。
左図においてｂ点と$${(1/3, 1)}$$を直線で結びます。$${(1/3, 1)}$$からｘの負の方向に正実数$${(\bf \epsilon_b>0)}$$だけ、$${b_x<1/3-\epsilon_b}$$となるようにとり、そこからｙ方向に直線を伸ばします。これと、ｂ点と$${(1/3, 1)}$$を結んだ直線との交点を$${\bf b_{\epsilon}}$$点と呼ぶことにします。
同様に右図においてｃ点と$${(1/3, 0)}$$を直線で結びます。$${(1/3, 0)}$$からｘの正の方向に正実数$${(\bf \epsilon_c>0)}$$だけ、$${1/3+\epsilon_c < c_x}$$となるようにとり、そこからｙ方向に直線を伸ばします。これと、ｃ点と$${(1/3, 0)}$$を結んだ直線との交点を$${\bf c_{\epsilon}}$$点と呼ぶことにします。
ｂ点と$${b_{\epsilon}}$$点、$${b_{\epsilon}}$$点と$${c_{\epsilon}}$$点、$${c_{\epsilon}}$$点とｃ点を結べば、全てのＣＳプロット点を通る連続な関数（連続写像）を得ることができます。
この全てのＣＳプロット点を通る連続な関数（連続写像）を
$${\bf u_{cs}(x)}$$、また$${\bf u_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${\bf u_{s}(x) (x \ge 1/3)}$$
と呼ぶことにします。
全く同様にして３Ｓ－１変換でも、全てのＣＳプロット点を通る連続な関数を
$${\bf d_{cs}(x)}$$、また$${\bf d_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${\bf d_{s}(x) (x \ge 1/3)}$$
と呼ぶことにします。
$${1/3}$$の等号はどちらに入れてもいいのですがＣＳ直線の場合と同じにしました。
連続関数が定義されても、ループの存在の有無はあくまでも連続関数上のＣＳプロット点上での有無です。ＣＳプロット点以外の実数の点でループが見つかったとしてもループが存在するとは言えません。
可算無限個のＣＳプロット点は表示できませんので初期値２７（３Ｓ＋１変換）と初期値１５３（３Ｓ－１変換）のグラフで上記諸関数を図Ｃ４－４に示しました。
$${\bf u_{c}(x)}$$、$${\bf u_{s}(x)}$$の示す範囲を$${\bf u_{cs}(x)}$$と共に左図に、また、$${\bf d_{c}(x)}$$、$${\bf d_{s}(x)}$$の示す範囲を$${\bf d_{cs}(x)}$$と共に右図に示しました。縦点線は$${x=1/3}$$です。
$${b_{\epsilon}}$$のｘ座標＜$${c_{\epsilon}}$$のｘ座標ですので、2点を結ぶ直線の傾きは負です。またこの部分で$${x=1/3}$$と交わります。
$${\bf u_{cs}(x)}$$、$${\bf d_{cs}(x)}$$はｘの一価連続関数となります。
（右）ｄｃｓのグラフとｄｃ、ｄｓの範囲
Ｃ４．３ 可算無限個のＣＳプロット点と連続関数について
全ての初期値（無限個の正奇数$${No}$$）のＣＳプロット点を表示させた場合を考えます。
初期値が最終的に１に到達する、無限ステップ数となる、ループする（１以外）、のどれであっても関係ありません。ＣＳプロット点は全て合わせれば
$${f_c}$$より上に、近くに可算無限個のプロット点が、
$${f_s}$$より上に、近くに可算無限個のプロット点が、
ｘ軸上に可算無限個のプロット点（最終点）が、
現れます。
”近くに”とは、$${2^{68}}$$以上の奇数ではＣＳ直線との差は高々$${10^{-21}}$$程度です（セクションＣ３．１、証明はＣ３．４）。
３種の可算無限個のプロット点は、全ての正奇数$${No}$$において
３Ｓ＋１変換では、新手法第３章、3.1式
$${3No+1=m_{o} \cdot 2^n }$$ の $${(c(No), c(m_{o}))}$$ のことです。
３Ｓー１変換では、新手法第Ｃ２章、C2.1式
$${3No-1=m_{o} \cdot 2^n }$$ の $${(c(No), c(m_{o}))}$$ のことです。
ここで$${m_{o}}$$は正奇数、$${n}$$は正整数。
１以外のループの存在の有無を検討する場合、ｘ軸上にある可算無限個のプロット点（最終点）は考慮する必要ありません。最終点を含むことは１に到達することだからです。
ｘ軸上にある可算無限個のプロット点（最終点）のｘ座標は、
３Ｓ＋１変換では、新手法第３章３．２の(3.13)式で$${t_s=0}$$と置いた奇数値のＣ値の集合、$${{c(1),\ c(5), \ c(21), \ c(85), \cdots}}$$のことです。
極限値は$${\cfrac{1}{3}}$$です。
$${(3.13) （再）cs(6t_s+1)={8t_s+1,\ 32t_s+5, \ 128t_s+21, \ 512t_s+85, \cdots}}$$
３Ｓー１変換では、第Ｃ２章の(c2.19)式で$${t_w=0}$$と置いた奇数値のＣ値の集合、$${{c(1),\ c(3), \ c(11), \ c(43), \cdots}}$$のことです。
極限値は$${\cfrac{1}{3}}$$です。
$${(c2.19) （再）cs(6t_w+1)=\{4t_w+1,\ 16t_w+3, \ 64t_w+11, \ 256t_w+43, \cdots\}}$$
可算無限とは可付番無限とも呼ばれ、高校数学の範囲を超えますが、無限の濃度にも濃さがあり、最小の濃度で、自然数全体の集合と１対１の対応が付く濃度です。
例えば、正奇数、$${1, 3, 5, 2n-1, \cdots}$$は自然数$${n}$$と１対１の対応が付くので可算無限集合の１つです。無限の世界では奇数と自然数の濃度が同じである、というのですから摩訶不思議です。尚、実数の集合は自然数と１対１の対応が付かないで、非可算無限といいます。
無限の不思議さですがリーマン予想に出てくるゼータ関数の自然数の和、$${1+2+3+\cdots =-\cfrac{1}{12}}$$ となります（オイラー、1749年）。
分数になるのも不思議ですが、さらにマイナスとは・・。
有理数は可算無限集合です。
Ｃ値は有限小数、有理数の１つなので、全ての正奇数$${\bf No}$$のＣ値の集合は可算無限集合です。
ａ点と$${(0, 1/2)}$$およびｄ点と$${(1/2,1)}$$については上記と同様の手順は必要ありません。ａ点、ｄ点は全てのＣＳプロット点を通る連続関数の$${(0, 1/2)}$$および$${(1/2,1)}$$に限りなく近づく端の点です。（$${\cfrac{1}{2^n}}$$の集合において、$${n}$$無限大としたときの$${\cfrac{1}{2^n}}$$と$${0}$$の関係に同じです。また、どんなに大きい$${n}$$をとって、$${\cfrac{1}{2^n}}$$を$${0}$$に近づけても、それより更に$${0}$$に近い実数が存在します。）
尚、Ｃグループに属するＣ値は０より大きく、Ｓグループに属するＣ値は１より小さい、またＣ値$${\ne 1/3}$$です。
可算無限個の要素を持つＣグループの端のｂ点は限りなく$${(1/3,1)}$$に
近い点が存在しますが、それに応じて、$${\epsilon_b>0}$$をとって$${b_{\epsilon}}$$点を定めることができます。
Ｓグループの端のｃ点についても同様で、$${c_{\epsilon}}$$点を定めることができます。
命題Ａ：
３Ｓ＋１変換における可算無限個のＣＳプロット点を通る１価連続関数$${\bf u_{cs}(x)}$$を定めることができ、
３Ｓ－１変換における可算無限個のＣＳプロット点を通る１価連続関数$${\bf d_{cs}(x)}$$を定めることができる。
命題Ａは正であるとして、説明を進めていきます。
新手法第１章から第８章および（続）新手法第Ｃ４章（前半）
までの変数・定義語・関数
$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、Ｓ変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ空間、ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、不動点、究極的な周期点、クモの巣図法、ＣＳ交互変換プロット、不動点$${\left(\cfrac{1}{3},0\right)}$$、
ＣＳ写像、最終点、最終到達点、３Ｃー１変換、３Ｓー１変換、
Ｃグループ、Sグループ、ａ点、ｂ点、ｃ点、ｄ点、可算無限個、
１価連続関数（写像）、
距離$${D}$$、$${c(N)}$$、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${Nv}$$、$${Nw}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${Mo}$$、$${cs(mo)}$$、$${s(Mo)}$$、$${f}$$、$${g}$$
$${\bf \epsilon_b>0}$$、$${\bf \epsilon_c>0}$$、$${\bf b_{\epsilon}}$$点、$${\bf c_{\epsilon}}$$点、
$${\bf u_{cs}(x)}$$、$${\bf u_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${\bf u_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$、
$${\bf d_{cs}(x)}$$、$${\bf d_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${\bf d_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$
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