（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介６ー問題の意味が小学生でもわかる高額懸賞金数学歴史的未解決問題

　「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」は「第１章　新手法の紹介の前に」からご覧ください。

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「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」では第Ｃ１章からご覧ください。
　第Ｃ１章には（続）新解析手法の各Ｃ・章へのリンクが貼ってあります。

第Ｃ４章　コラッツ予想のループについての考察

　
　セクションＣ４．３で以下の命題を紹介しました。

命題Ａ：
　３Ｓ＋１変換における可算無限個のＣＳプロット点を通る１価連続関数
$${\bf u_{cs}(x)}$$を定めることができ、
　３Ｓ－１変換における可算無限個のＣＳプロット点を通る１価連続関数
$${\bf d_{cs}(x)}$$を定めることができる。

命題Ａは正であるとして、説明を進めていきます。

　Ｃ４．４　シャルコフスキーの定理

　定理の紹介の前に、図Ｃ４－５のように自然数の順序付けを
決めます（シャルコフスキー順序）。９は５より右にある、１０は７より右にある、８は１より左にある、という見方をします。

図Ｃ４－５ 自然数の順序付け（シャルコフスキー順序）

　
　シャルコフスキーの定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　$${\bf f}$$は区間上の連続写像で、ｐ周期軌道を持つとする。qを順序付けのｐより右にある自然数とすると$${\bf f}$$はｑ周期軌道を持つ。

　シャルコフスキーの定理は１次元連続写像に関する定理です。そのため可算無限個のＣＳプロット点を通る１価連続関数$${u_{cs}(x)}$$（３Ｓ＋１変換）、$${d_{cs}(x)}$$（３Ｓ－１変換）を定義する必要があったわけです。

　定理が示す特徴を以下に示します。

・８周期軌道の存在（$${f^{8}(x)=x}$$）から４周期軌道と２周期軌道と不動点（$${f(x)=x}$$）がそれぞれ少なくとも１つ存在することが導かれる。

・２のべき乗でない周期の周期軌道の存在は、２のべき乗の全ての周期の周期軌道の存在を導く。

・有限個の周期点しか持たないのであれば、それらはみな２のべき乗の周期を持つ。

・３は順序付けの中で最も小さい自然数なので、３周期軌道の存在は他の全ての周期の存在を導く。

・例えば周期７を持てばそれより右の全ての周期を持つが、３周期や５周期をもつとは限らない。

などです。

　Ｃ４．５　コラッツ予想のループについての考察

　　（１）条件

　　以下の条件を用いて、
「３Ｓ＋１変換では（１以外の）ループは存在せず、３Ｓ－１変換ではループは存在してもよい」
　　について考察します。

１．　命題Ａは正である。

２．　シャルコフスキーの定理

３．　３Ｓ＋１変換においては、可算無限個のＣＳプロット点を通る１価連
　　　続関数$${u_{cs}(x)}$$を使用する。$${u_{cs}(x)}$$を使用しても、
　　　ＣＳプロット点の行先は必ずＣＳプロット点へ移る。
　　　（ＣＳプロット点の行先は必ずＣＳプロット点へ移ることは、ＣＳプ
　　　ロット点のそもそもの定義、ローレンツプロットになっていることか
　　　ら自明です）

４．　３Ｓ－１変換においては、可算無限個のＣＳプロット点を通る１価値　
　　　連続関$${d_{cs}(x)}$$を使用する。$${d_{cs}(x)}$$を使用しても、
　　　ＣＳプロット点の行先は必ずＣＳプロット点へ移る。

５．　ｘ軸上の可算無限個の最終点は考慮しなくてよい（自明）。

６．　$${u_{cs}(x)}$$上の可算無限個のＣＳプロット点はＣＳ直線より必ず
　　　上にある、$${d_{cs}(x)}$$上の可算無限個のＣＳプロット点はＣＳ直線
　　　より必ず下にある。

　ＣＳ直線式を再度示しておきます。

　ＣＳ直線式：

$$
\begin{array}{}    
&(c4.1)&    & f_{c}(x)=\cfrac{3}{2}x+\cfrac{1}{2}& &(0\le x <1/3)& \\\
\\\
&(c4.2)&   & f_{s}(x)=\cfrac{3}{4}x-\cfrac{1}{4}& &(1/3 \le x <1)
\end{array}
$$

　１．から６．を考慮すれば
「３Ｓ＋１変換ではループは存在せず、３Ｓ－１変換ではループは存在してもよい」
は証明できます。

　最初に３Ｓ＋１変換と３Ｓ－１変換に共通な式を導出しています。その後に２種変換で場合分けしています。３Ｓ－１変換の場合も導き、３Ｓ＋１変換の場合とは逆の結果が得られているため、本記事のコラッツ予想のループに関する論法が正である後押しとなっています。

　証明は区切り線で区切られた変数・定義語・関数の後に、（２）内で２変換に共通な式も導いています。

　見出しが、証明ではなく、考察となっているのは、命題Ａが正であるとしているからです。正であるならば、３Ｓ＋１変換では（１以外の）ループは存在しないことが言えます。また、８０年以上未解決の問題に、半分が証明できた等とは控えたいです。それ故以下証明は抜け道もある可能性もあることをご了解ください。その場合は完璧な証明に仕上げてくだされば幸いです。

　命題Ａの関数は導出法から自明だと考えています。
量子力学の構築時代にデラックのδ-関数（原点で∞、それ以外で０となる関数）なるものが出て、当時研究されたそうです。可算無限個とか連続は大学初期課程の内容ですので、命題Ａの関数は自明でなければ、数学科の卒論、修論のテーマとしても面白いのではないでしょうか。

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新手法第１章から第８章および（続）新手法第Ｃ４章（後半）
までの変数・定義語・関数

$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、Ｓ変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ空間、ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、不動点、究極的な周期点、クモの巣図法、ＣＳ交互変換プロット、不動点$${\left(\cfrac{1}{3},0\right)}$$、
ＣＳ写像、最終点、最終到達点、３Ｃー１変換、３Ｓー１変換、
Ｃグループ、Sグループ、ａ点、ｂ点、ｃ点、ｄ点、
シャルコフスキーの定理、シャルコフスキー順序
距離$${D}$$、$${c(N)}$$、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${Nv}$$、$${Nw}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${Mo}$$、$${cs(mo)}$$、$${s(Mo)}$$、$${f}$$、$${g}$$
$${\epsilon_b}$$、$${\epsilon_c}$$、$${b_{\epsilon}}$$点、$${ c_{\epsilon}}$$点、
$${u_{cs}(x)}$$、$${u_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${u_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$、
$${d_{cs}(x)}$$、$${d_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${d_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$

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　　（２）３Ｓ＋１変換の場合：