（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介２ー問題の意味が小学生でもわかる高額懸賞金数学歴史的未解決問題

　

　「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」は「第１章　新手法の紹介の前に」からご覧ください。

　また第１章には新解析手法の各章へのリンクが貼ってあります。

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「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」では第Ｃ１章からご覧ください。
　第Ｃ１章には（続）新解析手法の各Ｃ・章へのリンクが貼ってあります。

第Ｃ２章　３Ｓ－１変換における奇数の分類＆言えますか？　

　
　第Ｃ１章で、なぜ３Ｓ－１変換を考えるのか、それはコラッツ予想の論法の是非の手助けになるから、と述べました。３Ｓ＋１変換での論法が３Ｓ－１変換でもそのまま成り立つのであれば、、その論法は誤りということになります。

　今回の進展も３Ｓ－１変換と対比して述べていきます。

　また第Ｃ１章、第Ｃ２章は独立しており、今回の進展と切り離してもコラッツ予想の論法の是非に使えます。活用してみてください。

　Ｃ２．１　奇数の分類（Nv型とNw型）

　３C－１変換および３Ｓ－１変換の場合の奇数の分類方法は新手法第３章３C＋１変換および３Ｓ＋１変換の場合と同様です。

　正奇数$${No}$$は３Ｃ－１変換により偶数となりますが、偶数は正奇数$${m_{o}}$$と２のべき乗、$${2^{n}}$$の積として表すことができます。$${n}$$は正整数。

　　　　　$${(c2.1)          3No-1=m_{o} \cdot 2^n }$$

　合同式は高校数学では習いませんが、この記事では以下で十分です。
　$${m_{o}}$$において、３で割って２余る数であれば$${m_{v}}$$とおき、
$${m_{v}\equiv ２ (mod 3)}$$、または略して、$${m_{v}\equiv ２}$$と表すことにします。
　$${m_{o}}$$において、３で割って１余る数であれば$${m_{w}}$$とおき、
$${m_{w}\equiv １ (mod 3)}$$、または略して、$${m_{w}\equiv １}$$と表すことにします。
　また、
$${1\cdot 1\equiv 1 　2\cdot 2\equiv 1 　2\cdot 1 \equiv 2 　1\cdot 2\equiv 2 }$$　
$${p}$$を正整数として、$${2^{2p} \equiv 1}$$、$${2^{2p-1} \equiv 2}$$

　(c2.1)で$${3No-1 \equiv 2}$$なので、右辺は$${2\cdot 1}$$か$${1\cdot 2}$$の組み合わせしかありません。$${m_{o}}$$は３の倍数にはなりえません。
　$${m_{v}}$$、$${m_{w}}$$に応じて$${No}$$を$${Nv}$$、$${Nw}$$に分類し

　　　　　$${(c2.2)          3Nv-1=m_{v} \cdot 2^{2p} }$$
　　　　　$${(c2.3)          3Nw-1=m_{w} \cdot 2^{2p-1}}$$

　また、$${m_{v}(\equiv 2)}$$、$${m_{w}(\equiv 1)}$$は、０以上の整数$${t_{v}}$$、$${t_{w}}$$を用いて

　　　　　$${(c2.4)          m_{v}=6t_{v}+5}$$
　　　　　$${(c2.5)          m_{w}=6t_{w}+1}$$

とおきます。(c2.4)、(c2.5)をそれぞれ(c2.2)、(c2.3)に代入して、

　　　　　$${(c2.6)          3Nv-1=(6t_{v}+5) \cdot 2^{2p} }$$
　　　　　$${(c2.7)          3Nw-1=(6t_{w}+1) \cdot 2^{2p-1}}$$

　$${Nv}$$、$${Nw}$$について整理して

　　　　　$${(c2.8)          Nv(t_{v},p)=t_{v}2^{2p+1}+\cfrac{5 \cdot 2^{2p}+1}{3}}$$

　　　　　$${(c2.9)          Nw(t_{w},p)=t_{w}2^{2p}+\cfrac{2^{2p-1}+1}{3}}$$

　正奇数$${No}$$を$${(t,p)}$$をパラメータとした２種の奇数$${Nv}$$型と$${Nw}$$型に分類できました（$${t_{v}}$$、$${t_{w}}$$は０以上の整数で単に$${t}$$とおくこともあります）。

　新手法第３章で紹介した３C＋１変換および３Ｓ＋１変換の場合の奇数の分類は以下の通りでした。

　　　　　$${(c2.10)          Nc(t_{c},p)=t_{c}2^{2p}+\cfrac{5 \cdot 2^{2p}-2}{6}}$$　　　

　　　　　$${(c2.11)          Ns(t_{s},p)=t_{s}2^{2p+1}+\cfrac{2^{2p}-1}{3}}$$

　以下、 (c2.12), (c2.13) は補足です。

　(c2.9)と(c2.10)の$${p}$$のみの項を足すと

　　　　　$${(c2.12)         \cfrac{2^{2p-1}+1}{3}+\cfrac{5 \cdot 2^{2p}-2}{6}=2^{2p}}$$

　(c2.8)と(c2.11)の$${p}$$のみの項を足すと

　　　　　$${(c2.13)         \cfrac{5 \cdot 2^{2p}+1}{3}+\cfrac{2^{2p}-1}{3}=2^{2p+1}}$$

　共に２のべき乗項のみとなります。

　Ｃ２．２　Ｎv型とＮw型の特性

　(c2.8)、(c2.9)で$${p=4}$$まで表してみると

　　　　$${(c2.14)          Nv=8t_v+7,\ 32t_v+27, \ 128t_v+107, \ 512t_v+427, \cdots}$$
　　　　$${(c2.15)          Nw=4t_w+1,\ 16t_w+3, \ 64t_w+11, \ 256t_w+43, \cdots}$$

　右辺の各要素は添え字を省略して、$${4t+1}$$型、$${16t+3}$$型、$${8t+7}$$型、等とよぶこともあります。

　また、(c2.10)、(c2.11)で$${p=4}$$まで表してみると

　　　　$${(c2.16)          Nc=4t_c+3,\ 16t_c+13, \ 64t_c+53, \ 256t_c+213, \cdots}$$
　　　　$${(c2.17)          Ns=8t_s+1,\ 32t_s+5, \ 128t_s+21, \ 512t_s+85, \cdots}$$

　具体例として、(c2.12)、(c2.13)を確かめることができます。　

　(c2.6)、(c2.7)から、(c2.14)、(c2.15)は
　　　$${Nv}$$は１ステップで$${6t_{v}+5}$$に到達する奇数列、
　　　$${Nw}$$は１ステップで$${6t_{w}+1}$$に到達する奇数列です。

　正奇数$${mo}$$に１ステップで到達する奇数列を$${\bm{cs(mo)}}$$とおくことにします。(c2.14)、(c2.15)は

$${(c2.18)          cs(6t_v+5)=\{8t_v+7,\ 32t_v+27, \ 128t_v+107, \ 512t_v+427, \cdots\}}$$
$${(c2.19)          cs(6t_w+1)=\{4t_w+1,\ 16t_w+3, \ 64t_w+11, \ 256t_w+43, \cdots\}}$$

　(c2.18)、(c2.19)の簡単な例として$${t_{v}=t_{w}=0}$$とおいてみると
　　　　　$${(c2.20)       cs(5)=\{7,\ 27, \ 107, \ 427, \cdots\}}$$
　　　　　$${(c2.21)       cs(1)=\{1,\ 3, \ 11, \ 43, \cdots\}}$$
１ステップで１や５に到達する奇数列が現れました。要素の数は無数にあります。

　$${6t+1}$$と$${6t+5}$$で３の倍数を除く全ての奇数が表示でき、これ等の奇数に到達する無限の要素をもつ奇数列があることがわかります。

　(c2.19)で$${t_{w}=1}$$とおいてみると
　　　　　$${(c2.22)       cs(7)=\{5,\ 19, \ 75, \ 299, \cdots\}}$$

　$${5 \to  7 \to 5 \to 7  \to \cdots}$$ですが、(c2.20),(c2.22)から$${5, 7}$$以外にも無数の奇数がこのステップに関わっていることがわかります。

　見方を変えて、(c2.18)の右辺の奇数列において、これ等は$${p}$$の異なる奇数列ですが同じ$${t_{v}}$$を持つ奇数列で、これ等は全て１ステップで$${t_{v}}$$のみに依存する奇数$${6t_v+5}$$に到達します。$${p}$$は関係なく$${t_{v}}$$の値が同じであれば、同じ値、$${6t_v+5}$$に１ステップで到達するわけです。$${t_{w}}$$についても同様です。

　(c2.18)と(c2.19)の右辺の奇数列で全ての正奇数$${No}$$を表せるわけですが、$${4t+1}$$型の奇数のみ３Ｓ－１変換で$${6t+1}$$となり値が大きくなります。そのほかの奇数は全て３Ｓ－１変換で値が小さくなります。全ての奇数は$${4t+3}$$型か$${4t+1}$$型なので、奇数の半分は３Ｓ－１変換で値が大きくなり、残り半分は３Ｓ－１変換で値が小さくなるわけです。

１ステップで元の奇数に戻る数は１しかないことは以下の通りです。

　　　(c2.1)で$${m_{o}=No}$$とおいて
　　　$${3No-1=No \cdot 2^n }$$
　　　$${(3-2^n)No=1}$$
　　　左辺で掛けて1になるためには$${3-2^n=1}$$かつ$${No=1}$$
　　　つまり$${n=1}$$かつ$${No=1}$$のみです。

　(c2.18)、(c2.19)を詳しく見てみることにします。
　(c2.18)、(c2.19)の２式で３Ｓ－１変換に従う数字配列（正奇数配列）の全てを表しています（偶数は考慮しなくてもよい）。


　上述したように(c2.18)、(c2.19)の２式の右辺の要素を全て合わせて、全ての奇数を表しています。全ての奇数はこの要素のいずれかに相当しています。

　$${t}$$をいろいろ変えて２式の右辺に代入して、１ステップで到達する左辺の奇数を求めます。この時点で３の倍数は取り除かれます。１ステップで到達する数は$${6t+5}$$型か$${6t+1}$$型の奇数です。奇数なので(c2.18)、(c2.19)の２式の右辺の要素のいずれかになります（再び戻ります）。ただし最初の$${t}$$とは異なります。これを繰り返すと奇数のツリー（樹形図）が出来上がります。これを３Ｓ－１空間の数字配列とよぶことにします。

　ただし３Ｓ－１空間の数字配列では既にループとなる配列は存在していますので、１本のツリーではありません。（一方、３Ｓ＋１空間のツリーでは$${2^{68}}$$までは全て$${1}$$に到達しますので、$${2^{68}}$$以下であれば１本のツリーです。）

　一例で説明します。初期値として１７を取ります。
　$${17}$$は$${17=4\cdot 4+1}$$なので$${4t+1}$$型で$${t=4}$$です。これは$${6t+1}$$に１ステップで移り、値は$${25}$$です。ところが$${25}$$に移る奇数は同じ$${t=4}$$を持つ(c2.19)式の右辺の全ての奇数で、$${t=4}$$を代入して$${17, 67, 267,\cdots}$$です。これらは全て同じ$${25}$$に移ります。
　次に$${25}$$は$${25=4\cdot 6+1}$$なので$${4t+1}$$型に属し、$${t=6}$$です。$${t=6}$$である(c2.19)式の右辺は$${25,97,395,\cdots}$$で、これ等は全て$${6\cdot 6+1=37}$$に移ります。これを繰り返します。

　奇数の分類とその特性をまとめてみました。さらにコラッツ予想に取り組み始めた読者の為に、追加特性などありましたらコメント欄にお願いします。

　Ｃ２．３　言えますか？

　３Ｓ＋１変換と３Ｓ－１変換の数字配列を比較してみます。

　(c2.18)、(c2.19)の２式（再）で３Ｓ－１変換に従う数字配列（正奇数配列）の全てを表しています。

$${(c2.18)          cs(6t_v+5)=\{8t_v+7,\ 32t_v+27, \ 128t_v+107, \ 512t_v+427, \cdots\}}$$
$${(c2.19)          cs(6t_w+1)=\{4t_w+1,\ 16t_w+3, \ 64t_w+11, \ 256t_w+43, \cdots\}}$$

　新手法第３章３．２から(3.12)、(3.13)の２式（再）で３Ｓ＋１変換に従う数字配列（正奇数配列）の全てを表しています。

$${(3.12)            cs(6t_c+5)={4t_c+3,\ 16t_c+13, \ 64t_c+53, \ 256t_c+213, \cdots}}$$
$${(3.13)            cs(6t_s+1)={8t_s+1,\ 32t_s+5, \ 128t_s+21, \ 512t_s+85, \cdots}}$$

　第Ｃ１章の例のように、３Ｓ＋１変換での論法が３Ｓ－１変換でもそのまま成り立つのであれば、その論法は誤りということになります。

　そこでコラッツ予想は正であるとする正攻法の論法（ここでは整数のみ使用した論法とします）は、２種変換において、最初から場合分け、もしくは途中から場合分けして進めていくわけですが、最終的に２種変換でループの存在の有無（違い）が言えますか？

　(3.12)、(3.13)から種々のグラフや表も表せますし、解析もできます。正攻法でコラッツ予想は正である（全ての正奇数が１に到達する、偶数もというのであれば、まずは奇数で）ことを証明した（？）というのであれば、その論法を用いて途中で場合分けする等して、(c2.18),(c2.19)に当てはめてみて、１に到達する正奇数もあれば、ループする正奇数もあることが言えますか？

　敢えて上記４式に当てはめなくてもいいですが、「３倍して１を足す、と３倍して１を引くの違いのみ」ですが、前者はループが存在しない（最初から全てが１に到達するでもよいです）のであれば、後者はループも存在することが、考案した正攻法論法で場合分けして言えますか？
（クリエータは両者共に無限ステップ数にはならないであろうと予想しています）

　クリエータとしましては、整数のみ用いた正攻法論法であれば、３Ｓ－１変換（３倍して１を引く）の場合にも当てはめてみることはでき、（最初から、もしくは途中から）場合分けをして２種変換で結果に違いがでますか？と言いたいところであります。

　整数のみ使用した正攻法に限らず、３Ｓ＋１変換で全ての正整数が１に到達するとしている論法において、論法の本質は変えずに３Ｓ－１変換にも当てはめて、１に到達するとしていることしか言えないのであれば、その論法は誤りであると十分見込めます。３Ｓ－１変換であれば、どこかで場合分けが出てくる、まずは場合分けまで行けますか？です。

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新手法第１章から第８章および（続）新手法第Ｃ２章（前半）
までの変数・定義語・関数

$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、Ｓ変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ空間、ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、不動点、究極的な周期点、クモの巣図法、ＣＳ交互変換プロット、不動点$${\left(\cfrac{1}{3},0\right)}$$、
ＣＳ写像、最終点、最終到達点、３Ｃー１変換、３Ｓー１変換
距離$${D}$$、$${c(N)}$$、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${Mo}$$、$${cs(mo)}$$、$${s(Mo)}$$、$${f}$$、$${g}$$

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