（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介１ー問題の意味が小学生でもわかる高額懸賞金数学歴史的未解決問題
リンク
第Ｃ２章 ３Ｓ－１変換における奇数の分類＆言えますか？
Ｃ２．１ 奇数の分類（Nv型とNw型）
Ｃ２．２ Ｎv型とＮw型の特性
Ｃ２．３ 言えますか？
第Ｃ３章 ３S＋１変換と３S－１変換のＣＳプロットの比較
Ｃ３．１ ３S＋１変換のＣＳプロット（復習）
Ｃ３．２ ３Sー１変換のＣＳプロット
第Ｃ３章 ３S＋１変換と３S－１変換のＣＳプロットの比較
Ｃ３．３ ３S＋１変換と３S－１変換のＣＳプロットの比較
Ｃ３．４ ３S－１変換におけるＣＳプロット点とＣＳ直線式の関係
第Ｃ４章 コラッツ予想のループについての考察
Ｃ４．１ 用語の説明
Ｃ４．２ 連続関数の定義
Ｃ４．３ 可算無限個のＣＳプロット点と連続関数について
第Ｃ４章 コラッツ予想のループについての考察
Ｃ４．４ シャルコフスキーの定理
Ｃ４．５ コラッツ予想のループについての考察
（１）条件
（２）３Ｓ＋１変換の場合
（３）３Ｓー１変換の場合
「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」記事１から記事１０（第１章から第８章）を書き終えて8ヶ月程経ちました。応援もいただきました。
進展がありましたので、
「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」としまして、第Ｃ・章と称して、幾つか記事を公開することにしました。
予想が正しいことをいうためには以下の２点を証明する必要があります。
・すべての正の整数でどこまでも大きくはならない
（最大値が存在する、無限ステップ数とはならない）
・１を除くすべての正の整数でもとに戻ることはない
（ループしない）
この２点が証明できれば有限回数でいつかは１に到達することになります。
今回の進展は後者の周期性に関する進展です。
「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」は「第１章 新手法の紹介の前に」からご覧ください。
また第１章には新解析手法の各章へのリンクが貼ってあります。
新手法要約動画 ←クリック
第Ｃ１章 コラッツ予想を証明した？という動画・記事はこれを確認・質問してみよう
世界で最も有名な数学者の一人であるフィールズ賞をもつ天才テレンス・タオも完全証明はまだまだと述べています（新手法第１章）。
３Ｓ＋１変換と３Ｓ－１変換
一般コラッツ空間でのコラッツルールは「奇数なら３倍して１を足す、偶数なら２で割るを繰り返していく」ですが、奇数なら３倍して１を足す操作を３C＋１変換とよぶことにしました。また、この変換で偶数になりますが、２で割るだけ割ってある奇数に到達するまでの操作を３Ｓ＋１変換とよぶことにしました（新手法第３章）。
一方で「奇数なら３倍して１を引く、偶数なら２で割るを繰り返していく」の場合はどうなるのかです。
「奇数なら３倍して１を引く」、を３Ｃー１変換とよぶことにします。正奇数$${No}$$を３倍して１を引いても、偶数になります。２で割るだけ割ると奇数に到達しますが、この一連の過程を３Ｓ－１変換とよぶことにします。
３Ｓ－１変換はコラッツ予想を外から眺める一例と言えます。なぜならこの変換にはループが存在します。
例えば
$${5 \to 14 \to 7 \to 20 \to 10 \to 5 \to \cdots}$$
奇数のみ表示では
$${5 \to 7 \to 5 \to 7 \to \cdots}$$
です。
新手法では奇数のみ追っていくとしていますから、５や７は２ステップで元に戻り、２周期です。
図Ｃ１－１は、一例としまして初期値が１，３，５・・，４１に３Ｓ－１変換を施していった時のステップ経緯を表した表です。１に到達する初期値もありますし、また、途中からループする初期値もあります。初期値２１では３ステップ後１７に達し、その後は７周期となります。
なぜ３Ｓ－１変換を考えるのかですが
コラッツ予想の論法の是非の手助けになる
からです。
一般コラッツルールでは連続して数字が上昇していくことなく、あるステップで必ず数が減少します、例えば$${4t+3}$$型で$${t=1}$$の$${7}$$を初期値とした場合の$${7 \to 11 \to 17 \to 13 \to \cdots}$$（奇数のみ表示）は
$${17}$$までは上昇しますが、次のステップで減少します。
例えばネット上ですが、「一般コラッツルールではどの数字も連続して数字が上昇していくことなく、あるステップで必ず数が減少する」をもってしてコラッツ予想は正しいとか結んでいる内容がありました。
正確には$${2^{68}}$$以下ではどれも$${1}$$に到達することはわかっていますから、$${2^{68}}$$より大きい任意の整数を初期値として、あるステップで初期値より下がれば、コラッツ予想は正しいわけですね。
「どの数字も連続して数字が上昇していくことなく、あるステップで必ず数が減少する」は３Ｓ－１変換でも成り立ちます。しかし３Ｓ－１変換はループが存在します。よって上記ネット例の論法は誤りとなります（この例では３Ｓ－１変換を持ち出さずとも自明ではありますが）。
その論法が正しいというのであれば、それを３Ｓ－１変換に当てはめて
３Ｓ－１変換でも成り立つのであれば、その論法は誤りということになります。
別例として、一般コラッツルールでは３Ｓ＋１変換では、奇数は変換後、３の倍数にはなりえません。３の倍数に到達する奇数は存在しない、をもってして～～は正しいとする論法もありました。
３の倍数に到達する奇数は存在しない、はループが存在する３Ｓ－１変換でも成り立ちますから、その論法は誤りということになります。
もちろん２変換共通に成り立つ諸要素はあります。ぎりぎり最後まで共通要素で論じているのに、最後の結論で３Ｓ＋１変換にしか成り立たない結論（１に到達する等）を出しているのは誤りという意味です。
「３Ｓ＋１変換では3倍して１を足せば偶数になる」、「３Ｓー１変換では3倍して１を引けば偶数になる」、は共通の要素です。
「３Ｓ＋１変換では、４ｔ＋３型の正奇数$${No}$$は１ステップで$${No}$$より大きくなる、その他の$${No}$$は小さくなる」（奇数のみ追跡）、と「３Ｓー１変換では、４ｔ＋１型の$${No}$$は１ステップで$${No}$$より大きくなる、その他の$${No}$$は小さくなる」、は共通の要素です。
「その論法は３Ｓ－１変換でも成り立ちますよ、だからその論法だけをもってして、～～が成り立つ、は誤りです。」は、結構説得力がありますね。
以下は証明全般に言えることですが、
～～を発見した。それも使ってコラッツ予想が正であることを証明をした、と書いてある本がありました。発見したとは、多数の数値解析実験をして、何らかの規則を見出したかと思います。しかし、どうも証明らしきことはどこにも書いてないのです。発見も証明しなければダメでコラッツ予想が正であることを証明したことにはなりません。当然です。
新手法第１章から第８章および（続）新手法第Ｃ１章
までの変数・定義語・関数
$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、Ｓ変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ空間、ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、不動点、究極的な周期点、クモの巣図法、ＣＳ交互変換プロット、不動点$${\left(\cfrac{1}{3},0\right)}$$、
ＣＳ写像、最終点、最終到達点、３Ｃー１変換、３Ｓー１変換
距離$${D}$$、$${c(N)}$$、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${Mo}$$、$${cs(mo)}$$、$${s(Mo)}$$、$${f}$$、$${g}$$
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