（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介９ー問題の意味が小学生でもわかる高額懸賞金数学歴史的未解決問題
「コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」は「第１章 新手法の紹介の前に」からご覧ください。
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「（続）コラッツ予想解明への新解析手法の紹介」では第Ｃ１章からご覧ください。
第Ｃ１章には（続）新解析手法の各Ｃ・章へのリンクが貼ってあります。
第Ｃ６章 ＣＳ円板アート
Ｃ６．２ Ｓ値とＣＳ円板
復 習：（追加説明あり）
一般コラッツ空間の正奇数$${No}$$ はＣＳ空間ではＣ変換したＣ値 となるわけですが、もう １つ重要な変数として第４章で登場したＳ変換した Ｓ値がありました。
図Ｃ６－４は初期値２７の場合のＣＳプロット（左）とＣＳ交互変換プロット（右）です。４１個の$${(c(No_{n}),c(No_{n+1}))}$$ローレンツプロットでは、全てのプロット点はＣＳ直線$${f_c, f_s}$$上に乗りません（左図）が、$${(s(No_{n}),c(No_{n+1}))}$$ローレンツプロットでは、プロット点は全てＣＳ直線上に乗せる（右図）ことができました（第６章６．２）。
正奇数$${No}$$は以下の２式に分類できました（第３章）。
ここで、$${t_c, t_s \ge 0, p >1}$$。
$${(c6.1) Nc(t_c,p)=t_c\cdot 2^{2p}+\cfrac{5 \cdot 2^{2p}-2}{6}}$$
$${(c6.2) Ns(t_s,p)=t_s\cdot 2^{2p+1}+\cfrac{2^{2p}-1}{3}}$$
$${Nc(t_c,p)}$$は１ステップで$${6t_c+5}$$に到達し、その要素は無数にありますが、$${p=4}$$まで表すと、
$${(c6.3) cs(6t_c+5)=\{4t_c+3,\ 16t_c+13, \ 64t_c+53, \ 256t_c+213, \cdots\}}$$
$${Ns(t_s,p)}$$は１ステップで$${6t_s+1}$$に到達し、その要素は無数にありますが、$${p=4}$$まで表すと、
$${(c6.4) cs(6t_s+1)=\{8t_s+1,\ 32t_s+5, \ 128t_s+21, \ 512t_s+85, \cdots\}}$$
c6.3において、重要なことは$${t_c}$$さえ同じであれば$${p}$$は異なっても、全ての要素は同一の$${6t_c+5}$$に１ステップで到達するということです。c6.4についても同様です。
Ｓ値は$${t_c}$$もしくは$${t_s}$$のみの関数となります。言い換えますとＳ値はc6.3, c6.4の右辺の無数の要素全体に対応していると言えます。また、$${t_c, t_s}$$は$${0}$$以上の整数で同一の値も無数にありますが、Ｓ値では$${t_c = t_s}$$であっても、必ず$${s(t_c) \neq s(t_s)}$$となります。このことは、$${t_c = t_s}$$であっても、c6.3, c6.4の右辺の要素全体の集合は異なることに対応しています。
c6.3で$${t_c=0}$$とおいてみると、
$${(c6.5) cs(5)=\{3,\ 13, \ 53, \ 213, \cdots\}}$$
c6.4で$${t_s=0}$$とおいてみると、
$${(c6.6) cv(1)=\{1,\ 5, \ 21, \ 85, \cdots\}}$$
c6.4で$${t_s=2}$$とおいてみると、
$${(c6.7) cv(13)=\{17,\ 69, \ 277, \ 1109, \cdots\}}$$
17は１ステップで13に到達しますが、13に到達するのは17ばかりでなく17を含むc6.7の全ての要素です。
$${\{17,\ 69, \ 277, \ 1109, \cdots\}}$$は全て手がつながっているわけです。
これはＣ値をＳ値に変換することに対応しています。
$${(c6.8) s(No_n)=g(c(No_n))}$$ （第６章６．２）
ここで$${s(17)=s(69)=s(277)=s(1109)=\cdots}$$です。同じ要素であればＳ値は全て等しくなります（Ｃ値は全て異なります）。これはＳ値は$${t_c}$$もしくは$${t_s}$$のみの関数となることに対応しています。
c6.7の右辺の全ての要素は、コラッツルールにより全て13になるわけですが、これはＣＳ空間ではＳ値がC値になったことに対応しています。
ＣＳ直線式$${f(=f_c or f_s)}$$を使って、
$${(c6.9) c(No_{n+1})=f(s(No_n))}$$
ここで、$${f}$$は$${s}$$の関数であり、$${c}$$の関数にはなり得ません。
c6.6, c6.7, c6.8の右辺の要素のＳ値を代表として、それぞれ
$${s(3), s(5), s(17)}$$で表すことにします（$${s(1)}$$でもいいですが、1は唯一１ステップで$${1 \to 1 \to \cdots }$$ ループで特殊ですので$${s(5)}$$を選びました）。
上記から、
$${c(17)}$$は$${g}$$により$${s(17)}$$となり、
$${s(17)}$$は$${f}$$により$${c(13)}$$となり、
$${c(13)}$$は$${g}$$により$${s(13)}$$となり、
$${s(13)}$$は$${f}$$により$${c(5)}$$となり、
$${c(5)}$$は$${g}$$により$${s(5)}$$となり、
$${s(5)}$$は$${f}$$により$${c(1)}$$となります。
そして$${c(1)=0}$$です。
説明も追加しまして以上が復習となりますが、いかにもＣ変換Ｃ値、Ｓ変換Ｓ値、ＣＳ直線式の関係をスムーズに導いているかにみえます。
実のところは、解析初めの頃は１２７ＣＳ円板から導いたＣ値を初期値２７の場合に当てはめて、横軸ステップ番号としてＣ値をグラフにしてみたわけです。規則性のある振動、ＣＳ振動が見られたのでローレンツプロットしてみよう、何か見出せるはずだと思うのも自然です。プロット点が、ｘ軸上の１点を除き、ＣグループとＳグループの２種の集合に分離されることがわかったわけです。この時点では、中々面白い実験結果が得られたと感じましたね。多数の初期値でＣＳ振動、CSプロット点をグラフにしても類似の結果が得られたわけですが、CSプロット点は直線上には乗らないでジグザグしているわけです。
それはそれで置いておいて、Ｃ値を基にＣＳ直線式を導いたわけですね。CSプロット点と傾きが似ているなと感じたので、初期値２７のＣＳプロット点とＣＳ直線式を同一グラフにしてみたわけです。CSプロット点がＣＳ直線式の近くにプロットされていて、すごく感動したわけです。しかしＣＳ直線式には重ならないし、ＣＳプロット点はジグザグしているしカオス力学の理論は使えないので、やはり残念、とこの時点では諦めたわけです。半年位解析はしなかったですねえ。
その後何気なく１２７ＣＳ円板を見た時に$${3, \ 13, \ 53, \cdots}$$や$${5, \ 21, \ 85, \cdots}$$がある値に近づいているように見えたわけです。Ｃ値のｐ無限大とした時の極限値を求めてみようか、そしてそれがＳ値だったわけです。Ｓ値がＣＳ直線式$${f(x)}$$の$${x}$$に相当していたので、これはこれはと横軸Ｓ値、縦軸Ｃ値としてローレンツプロットしてみたらＣＳ直線式上にプロット点が全て乗ったわけですね。「おおっ」と感動しましたね。
図Ｃ６－５に２５５ＣＳ円板を、図Ｃ６－６に５１１ＣＳ円板を示しました。５１１ＣＳ円板では最外周の同心円内の奇数が全て３桁で数が多いため
隣同士の奇数はジグザクに配置しています。
数が多いのでより諸事項を確認しやすいかと思います。デザイン的には
１２７円板が良いかと思います。６３円板は暗算で９個のそれぞれの数字が
１に到達することが確認できますので一般の方々に体験してもらうには良いかと思います。間違えても指摘も容易ですしね。２５５円板や５１１円板は作成はしてみましたが、数が多すぎて目が疲れます、諸事項確認用ですね。
新手法第１章から第８章および（続）新手法第Ｃ６章Ｃ６－２
までの変数・定義語・関数
$${N}$$、$${No}$$、総ステップ数、ステップ番号、
ＣＳ振動、Ｃ変換、ＣＳプロット、ＣＳ直線式、３Ｃ＋１変換、
３Ｓ＋１変換、Ｓ変換、（一般）コラッツ空間、ＣＳ空間、ｔツリー、
ローレンツプロット、周期軌道、周期点、不動点、究極的な周期点、クモの巣図法、ＣＳ交互変換プロット、不動点$${\left(\cfrac{1}{3},0\right)}$$、
ＣＳ写像、最終点、最終到達点、３Ｃー１変換、３Ｓー１変換、
Ｃグループ、Sグループ、ａ点、ｂ点、ｃ点、ｄ点、
可算無限個、１価連続関数（写像）、Ｃ接続連続関数、
シャルコフスキーの定理、シャルコフスキー順序、
ＣＳ円板、同心円状、グループ分け、
距離$${D}$$、$${c(N)}$$、
$${6t+5}$$型、$${6t+1}$$型、$${4t+3}$$型、$${8t+1}$$型、など
$${z_{s}}$$、$${f_{c}(x)}$$、$${f_{s}(x)}$$、$${Nc}$$、$${Ns}$$、$${Nv}$$、$${Nw}$$、$${m_{o}}$$、$${m_{c}}$$、$${m_{s}}$$、$${t_{c}}$$、$${t_{s}}$$、$${t}$$、$${Mo}$$、$${cs(mo)}$$、$${s(Mo)}$$、$${f}$$、$${g}$$
$${\epsilon_b}$$、$${\epsilon_c}$$、$${b_{\epsilon}}$$点、$${ c_{\epsilon}}$$点、
$${u_{cs}(x)}$$、$${u_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${u_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$、
$${d_{cs}(x)}$$、$${d_{c}(x) (x<1/3)}$$、$${d_{s}(x) (x\ge 1/3)}$$、
$${F_{n}(x)}$$