大阪大学大学院理学研究科数学専攻・理学研究科数学専攻 令和7年度(2025年度)院試受験報告
大学院試験受験報告です。
１日目 2024/8/21 (水)
【開始時刻】9:00
【試験会場】D403
【持ち物】受験票、筆記用具、時計など
試験開始の30分前を目途に出発しました。１０分前から説明・試験問題配布が始まったので時間に余裕を持っていきましょう。
数学A(基礎問題)
試験内容
解析
線形
幾何
複素
試験中考えていたこと
試験開始１枚目を開く。あ、この問題、一昨日ぐらいに考えてわからなかった問題だ。上からMで抑えるのはすぐにわかるんだけど、下からの評価がなぁ…. なんとも驚くことに１問目、最近取り組んだ問題。それも、わからなくて、悩んで、解き切るのを忘れていた問題でした。不安と後悔を抱いて試験が開始しました。
まずは、問題を一通りみていつも通りの問題セットであることを確認しました。その後、解法を考えながら、解答用紙4枚、下書き用紙4枚に受験番号と名前を記入。
各大門ごとに1枚下書き用紙が配られました。これも試験終了後回収されました。これが、採点対象になるかは、答えられないということでした。
まずは、1番の下書き用紙に上からの評価を書く。そして、下からの評価を考えようと思いましたが、2~3日うっすら考えながら寝かしていたので、いいアイデアがすぐ出るわけもなく、すぐに大門2番に移りました。
2番では、線形空間の基本的な知識を問う問題でした。(1)はとりあえず次元を求めろということなので、基底を具体的に与えてその数を数えようと思いました。そこで条件式のtr(X)=0という条件について考えると、結局対角成分の1つの成分が、他の対角成分を用いて表せることに気付きました。頭の中では、nの2乗個の元があって、そこから１個減らした、n^2-1次元ということはわかりました。そこで解答として仕上げるために、記号の設定を考えていたところ、さらにあることに気付きました。この今考えている空間、Kerになっているのでは。次元定理で、すぐに次元を求められるのでは？これは、こっちのほうがかっこいい！！ということで、与えられた空間VがKer(tr)であることを言って、次元定理からnull(tr)+rank(tr)=n^{2}からVの次元がn^2-1であることを言いました。
（２）です。ほかの大学の院試試験でも、過去問でもよく見た形。（というより、線形代数でよく扱う形。）この写像f_{A}にはなじみはありました。なので、ぱっと見た感想は、まぁ解けるだろうなぁといった感じ。問題をじっくり読んでみると、trの性質さえ知っていれば解ける問題。解答を（すっきり）書くのは少し悩みましたが、結局集合の相当を言うだけの問題。これはいーじー。おそらくほとんどの人が解けるのだろうという感想でした。
（３）です。最初の感想。これは、解けそう。課題研究（４年次にある授業）で、リー代数の分類をしたので、対角行列やそのあたりの内容は比較的自信がありました。が、じっくり問題を解いてみると、これは、、意外と難しい。なんだ、n^{2}個の基底を与えないといけないのか。（２）で示した式はどういう意味なんだ。（１）（２）が誘導になっていることが期待されるが、どのような関係があるか見えてこない。絶対に解きたい気持ちもあって、ここでかなりのタイムロス。色々思考錯誤して、良いアイデアが出ず、いったん断念。
大問３番に移りました。位相の教科書は、じっくり２周、ざっと３周ほどはしていたのでぜひとも解きたい問題。（１）では、え、なにこれ、当たり前やん。当たり前田のクラッカー。。。コンパクト空間の連続像はコンパクトなんだから、そりゃそうやないか。。。といことで、大問２の(3)でタイムロスしていたこともあって、そのままさっと解答。もし時間があれば、その有名事実を使わない解答にしようと思い、一旦１行で解答を済ませました。
次の(２)番これもよく知っている結果でした。もう、何回も忘れて、証明悩んで、確認して、感動していたので、さすがに証明のながれはすらすら出てきました。コンパクトがうまく使えるのが気持ちいい。ただ、解答をきれいにまとめるのに少し苦戦。開被覆の部分被覆の表示、いつもちょっと不満を抱えながら書いちゃうのよね。U_{b}と決めたのに、U_{b_{i}}みたいな形で添え字付きのものを書いちゃうのどうなんだろ。まぁう～んと思いつつ、いつも通り、その書き方で記述。解答の途中で、空集合のときと全体に一致するときは少し気にした方がいいなと思い解答に加えました。
(3)のぱっとみた感想。固有写像は定義は見たことあるけど、詳しい話全然知らない！固有写像の定義書いててよかった～。思い出せるか不安だったな。直積が関わってると少し怖いが、まぁおそらくいけるかな。ということで、じっくり考えました。要するに定義通り、コンパクト集合をhで引き戻した集合がコンパクトであることを言えばよい。が、その表示が扱いやすい形でどうもかけそうにない。いや書けるのかもしれないけど、これは、集合として本当に等しいのだろうか。と悩みつつ苦戦。使えていない条件があるような気がするが、頭で条件が整理しきれず、悩みました。(1)(2)がかなり誘導になっていることはわかりましたが、収穫はそれぐらい。ここで、試験時間の半分弱（およそ１時間弱）経過していたので、次に進むことに。ここで少し不安になる。だって大問１わからないんだよな～～～試験時間以上に考えてまだできてないんだよ～。不安を抱えながら次へ。
大問４番。複素積分。それもlogの積分。昨日一昨日に複素関数でのlogとその積分は詰め込みましたが、なんかどうやら見たことない経路をとるらしい。まぁ、昨日やっててよかったという感じ。（複素積分なんか、できるけどよくわからないんだよ～””）とりあえず、1番２番だけでもなんとか解こうと問題を進めました。(1)は留数を求める問題。極は、まぁz=-1だろう。ん～ただ、分子の部分の正則性は言ったほうがよさそう。どうしようか。正則なのか自信がない。とりあえず、微分できるのか実際に微分してみて確認。あ、まぁ微分はできそう。対数関数の微分は実数のときと同じようにやって、よかったんだよな。昨日教科書でみた。はず…ということで、分子の正則性を言って、留数を求めました。１位の極なので、簡単に求める方法があって、極に起因する部分（分母）のみを微分して、z=-1を代入。logの定義も書いてあるので、さっと解答。
(2)はこれ、ちゃんと調べました。昨日やって、半径が0に近づくとき、log0ってなんだ?あれ、0にならなくねと思って調べました。結局それは、変数変換したときの微分のｒを出してきていなかっただけですけど、これはよく知った問題。そうこのサイトかな。
複素積分演習（logの分岐点と切断） | まめけびのごきげん数学・物理 (mamekebi-science.com)
を見ていました。あれ、これまんまちゃうの。今気づいた。うわ～そんなことある？？？
まぁ戻ります。いずれにせよ、解く方針はすぐにたちました。logの扱いに不安があることをのぞけば。そこでいつものように絶対値取って積分評価！！あれ？これ。０にならなくね。え、、ええ、。はい、焦りました。もうこれだから、不等式嫌い。ちょっと考えたのち、計算ミスを修正して解決。半径を無限大に飛ばすときもその表示から０に行くことが分かり、(3)に挑戦。
扱ったことない経路とlogに不安が残りながら経路を設定。まぁ経路はこうするしかないよなというやつを取りました。はいはい、これで留数定理！あとは求めたい積分のところが残るんでしょ。という感じで、計算を進めていくものの、実積分になるであろう部分の式変形に苦悩。εを0に近づけたらうまくいことはわかるが、積分を超えて極限を飛ばすことは危険なのはよく知っている。やっていいのか？一様収束性言わないといけない？？とりあえず、εを０に近づけると、あ、あれ？０になった。そんなわけはないんだけど。計算ミスはないし、おかしい。留数があるはずなのに、０になってしまう。これは詰まりましたね。とりあえず時間的にも厳しかったので、お気持ちで極限を取って、たぶんこんな感じという解答で書きました。留数定理は知っているんだ～経路はちゃんと取れているんだ～ということはアピールして、他の問題へ。
とりあえず大問１に戻ってっ見直すも、特にひらめかず、２番に取り組む。裏面を使って、問題の状況を整理しなおす。表現行列が対角行列か。つまりは、f(X) = k Xのような形で書ける基底を与えればいいのか。それはどういうものになるんだろう。Mn(C)の基底でよく知ったものは、行列単位E_{ij}ぐらいだな。リー代数の分類で、基底の変換をひたすらやったことを思い出し、相似な行列で、対角化可能性は変わらないのだから簡単な行列で対角化可能であることは言えないだろうか。つまり、Ａを対角化した状態で、扱うとどうなるだろうか。と、考えＤ＝A^{-1}XAを使って、f_D(E_{ij})=D^{-1}E_{ij}Dを考えてみることに。これが、どうやらうまく対角行列になっていそうなことに気付く。時間もないので、なんとか急いで解答の形をしたものにしあげる。変換後の基底としては、、えっと。。。PE_{ij} なのかな？という感じで問題を終了。（結果これは間違いだとわかりました。考えは悪くない線にいっていそうです。）
そして、残していた大問３の(3)に進む。問題の状況を整理。図式も書く。すると、あることを思います。ｈで引き戻したものは、射影で送ってfとgで引き戻した共通部分と等しくなるのでは？そこでひらめきをもとに解答を作成していきます。時間もないので、（残り４０分ほどだったかな）直接解答に書いていきます。解答を書いている途中に気付きました。hで引き戻した集合って閉集合なのでは。なぜなら引き戻す前はハウスドルフ空間のコンパクト集合なのだから。じゃあこれって。ｇいらなくねぇか？コンパクト空間の閉集合はコンパクトということを一昨日に口頭試問形式で、友達と出し合ったのでよく覚えていました。そうです。hで引き戻した集合は射影をfで引き戻した集合の部分集合となっているのです。ひらめきました。感動しました。と同時に、（少なくとも）明示的に使っていない条件がいくつかありました。だって、ｇの連続性、ってどこで？gとか写像出てきてないけど。とは思いつつ、最初の発想と混ざった解答を書き上げて大問１に戻る。
大問１は、まぁ悩みました。M=f(x_{0])となる点に注目するのは、よさそうとアンテナは立ちましたが、そこから解法が分からず、苦悩。別の方法を模索。というより、昨日か一昨日見たのになんで解けないの～情けなすぎる。と心で反芻しながら、とりあえずグラフを書いてみたり、いろいろと試行錯誤。そこで終了のチャイム。大問1はまったく手を付けられず終了。悔しいです。
数学B(専門)
試験中考えていたこと
まず問題をひととおり見て、どの問題を解くか考える。また、一緒に勉強してきた人が解こうとしている問題（大問５，６）に大きな変化がないか確認。今年は微分方程式の問題もあるよう….大問４、商多様体の問題。あ～どうせまた、群作用とか考えるか、なんか難しいことやるやつでしょ。これずっと解けないんだよな。商のハウスドルフ性示すのむずかしいんだよな。過去問にも何年かあるが、ホモロジー群も胞体分割身に付けないと解けないことも多いので、これは諦めていた。ということで、1,2,3に取り組むことを決意。
特にこれといって理由はなく大問２から始めました。（１）は明らかに準同型定理を使う問題だったので、進めやすかったです。（２）素イデアル。はい～定義わかるけど、どうするんだ。定義通りやるのは、処理できないレベルで複雑になりそうだし。ぐぬぬぬ。。。ここで苦戦して、結局解けず、大問３へ。
大問３。ぱっとみ正則値定理の問題かと思ったら、臨界点を求める問題。う～ん。これは、局所座標系とって、微分求めるか。局所座標系をとるのが久しぶりで、局所座標を与えるのに一苦労。導けるけど、覚えられないんだよな。S＾３なので、８個のパカパカ頭塾を設けて座標近傍を定義。あとは、気合の微分。一つ代表的な座標近傍で計算してあとは、そこからの類推?。対称性に注目して、解答を書いた。まぁ、許してくれという感じ。
(2)は臨界点の像を求めて、それが最大値最小値の候補。1/2sin2θと表されることがわかったので、1/2と-1/2かな。たぶん…
（この(2)の問題って相加平均相乗平均の関係使えばすぐに解けるらしいね。それに座標近傍取らなくても臨界点を求める方法あるね～例のあれ。勉強時の感動が足りず、テストでは生かせず…）
【相加・相乗平均の関係】変数が3つ以上のパターン（使い方＆入試問題）│楽スタ！ (rakustudy.com)
大問１。(1)は気合で解ける。遠回りしたが、なんとか解答。(2)これは、どうだろう。うまく解けたのかな。怪しい。非常に。(3)群の分類、ちゃんとやったことないんだよな。。やっとけばよかった。リー代数の分類ならやったのに…教科書にまんま載ってるし…
なんだかんだで、専門は不甲斐ない結果で終了。まぁ、まともに勉強してなかったし、仕方ない。興味持ってもっと積極的に取り組もうと思いました。
試験終了後
試験終了後、友達と解答確認タイム兼面接対策。聞かれるかもしれないので。5時間ほど.…
で、家に帰ってきて、復習も兼ねてこれを書いています。もう、1時…まずい。英語やって寝ます。
受験者情報
受験者人数は、約65人（５人×１３列）。欠席者（空席）は１０人弱見られた。
英語免除者は、見るところ１０人くらいか？
２日目 2024/8/22 (木)
英語
【開始時刻】10:00
【試験会場】D403
【持ち物】受験票、筆記用具、時計
試験の詳細
TOEICの試験による免除がある。
2024 年８月に実施する標記の入試（理学研究科博士前期課程数学専攻・2025 年４月入学者選抜試験）か ら、以下に該当する外部英語試験の成績証を提出した志願者に対して、試験科目「英語」の試験を免除し、その得点を満点とします。
試験内容
これがすごくやばかった。現在は試験の公平性のため、現在は見れなくなったのですが、ちょうど１年前には内部生は英語の過去問を見ることができていました。そこで確認したような問題を想定していました。しかし、そのような問題とは少し違いました。傾向の変更があったようです。簡潔に言うと、実用的な?普通の英語の単語力が問われる試験でした。数学に関する単語、（例えば、uniformly continuity, uniformly convergenseなど）を覚えたり、数学の証明を英語で確認したり、数式の入った英語の文の日本語訳をしたり、そういった勉強をしていましたが、少し勉強の方向性が間違ったように思います。
第１問 和訳問題
(1)certifyとか、applicationとか、大学入試を突破して、ちゃんと英語で点数が取れるような人は覚えている単語でしょう。誓約書の英語。試験で出されると文章以外の「文脈」がないので、わかりづらい。
(2)チャットGPTの使用法に関する文章。
第 2 問 英語で書かれた数学の問題
２次複素正方行列が、対称行列と、歪対称の和に表されること。
第 3 問 英訳問題
(1)数学の発表のセリフの一文。
(2)数学の知識についての英文。
英語の、具体的な問題の内容については、敢えて書いていないので、もしどうしても知りたければ、連絡いただければ返信します。気が向けば。
試験中考えていたこと
まず、試験が配られる。下書き用紙１枚、解答用紙３枚。これは、数学の試験と同じもの。まぁ、解答用紙はでかすぎる。これ専用に作ることはしなかったんでしょう。問題用紙１冊が配られる。表紙から透けて、大問3の問題が少しだけ目に入る。「近年、だんだん…」このとき思いました。ん？え…おい～！！！これってなんかやばくね？学部入試のときにさんざん書かされたり覚えさせられた構文じゃね？ということは。。。これ、完全に「英語での数学の運用能力」ではなく、純粋な「英語の能力」を問う試験なのでは…これは、まじで勉強の方針間違えたな…試験問題を開いてみると案の定。一問目なんて、hereby?certify？application?見たことはあるが、意味がすぐにでてこない単語ばかり。。。受験のときの英語力があればすらすら書けた気がするが、受験の英語の引き出しはしばらく開けてない。意味がわかる単語も、その単語の核の意味を捉えられておらず、文に合う意味がわからない。一通り問題に目を通したあと、大問１から取り組みました。
大問１は和訳問題。ただ単語がわからない。herebyってなんて訳すんだ。certifyってなに？certificationという単語とその意味「保証書、証明書」を思い出しました。ので、そこから予想?して、「保証する」という意味で理解しました。しかし、続きを読んでもよくわからない。なんだこの文章は、自分の正しさを保証する？？？というのはどういうこと？数学の文じゃない？英語で書かれた数学書の一文とかではないのか？そこに縛られたまま、文の意味が理解できず、ほぼ記号の配列のような日本語訳を書いて終了。これに時間を使ってしまった。
(2)は内容に親しみがあったこともあって、よくわかった。チャットGPTについての内容。文法的な部分はよく、少し悩んだのが最後の「… ,and the results…」という部分。なんの結果なんだろう。複数形だが、文の前半で使われていたoutputsと同じ意味で理解するべきなんだろうか。また、shouldの訳は「…するべき」と訳すべきか、「…するはず」と訳すべきか…使い分けかたは、うっすらとしか覚えておらず、自信が持てなかった。
大問２は、複素n次行列に関する問題。書いてある内容はすぐに理解できたが、少し考えたが、解き方がわからない。ここまでで時間をかなり使ってしまったこともあって、焦ってアイデアが出てこない。そこで、大問３に進むことに。
大問３英語訳の問題
(1)は英語で発表するときのセリフについての英訳。まぁ、数式だったり数学的能力は必要ありません。純粋な英語力です。TOEICをノー勉受験の結果、ひどい点数をとった自分にとってはかなりきつい問題でした。
(2)は「近年～なってきている」という構文の文章で、数学の必要性についてです。はい、近年、、、、recentlyはあるけど、現在完了形と相性の悪い単語だったっけ。。なんか、あったんだけど、納得して覚えられていないし、証明の仕方も理解していない(?)から、自信もって覚えられていないんだよな。ということで、in these daysという単語をを選択して現在形で書くことに。あっぁああ。誰か英語の文法というか、単語の意味とか、コロケーションを証明する方法を教えてくれ。納得したことしか身に付かん。。。もうめちゃくちゃな文を書いて終わり。なんでhighlyなんて副詞使っちゃんたんだろうか。。間違っていることはわかる。
英語の勉強についてのアドバイス
「英語での数学の運用能力」ではなく、純粋な「英語の能力」を問う試験です。外部試験と互換性があるとはそういうことなのです。英単語をしっかり勉強しましょう。数学に関する英語だけではなく、学部入試で勉強してきた普通の英単語です。構文も思い出しておきましょう。学部のときに勉強した、基本的な構文帳を確認しておくことを進めます。それにプラスアルファで、英語で数学の証明を書けるように練習してください。そのために、数学証明の書き方や、単語は身に付ける必要があるでしょう。
大問2の対策は下に挙げた本と、他の大学の英語の試験問題を使って練習するとよいでしょう。
数学のための英語教本 | 服部 久美子, 原田 なをみ, David Croydon |本 | 通販 | Amazon
口頭試問
実施方法
12:00に受験資格者が公開。紙で貼りだされる。５人以下のグループごとに分かれてグループごとに試験実施。どのグループに割り当てられるかの規則は不明。テストを受験さえしていれば、だいたい受験資格はありそう。。
下のように書かれた表が貼りだされます。
試験5人グループの内の最後から２番目。受験者控室で、1時間ほど待機。試験の内容。
試験内容
直和の定義。和空間の次元に関する公式について。
一様連続の定義の定義と連続との論理関係。その反例。
対角集合が閉集合であるならば、ハウスドルフであることの証明。
できは、まずまず。
直和の定義。和空間の次元に関する公式について。その証明。→△
一様連続の定義の定義と連続との論理関係。その反例。→△
対角集合が閉集合であるならば、ハウスドルフであることの証明。→〇
ペーパー試験の復習をしていたが、教科書を見直す、再現できるようにすることのほうが、重要だった。
ペーパーの試験についての質問はなかったし、専門レベルの内容は聞かれなかった。またきわめて重要な情報の可能性があるが、グループごとに質問内容が決まっているようだった。また、過去に出た問題もよく問われていた。
次年度以降どうなるかはわからないので、自己責任で勉強をお願いします。
因みに口頭試験で問われた問題
2ヶ月前に目覚めの１題として出していました。伏線回収。
学内受験と学外受験者の差
学内受験者が有利な点は、院生とのつながり、大学教授とのつながり、環境への慣れ、同じ受験者の知り合いがいる安心感などです。特に試験の傾向が、学部での授業から予想できたりということはほとんどありません。
結果報告
受験結果でました。受かってましたね。受かったからにはがんばりますか。
合格者 48/65 人
10人くらいは欠席していたので、実質の倍率は1.1倍くらいでした。
因みに定員32名です。目安にどうぞ。
最後に
何かもう少し知りたいことがあれば、気が向けばDMにて返します。気軽にDMを送ってもらえればと思います。試験勉強、頑張ってください。