バッチなのかバッヂなのかバッジなのか？

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パーマンバッチについて書く事があった時に行き当たった問題。
上記の動画とサイトではパーマンバッチとパーマンバッジで分かれてる。
これどれが正解なのだろうと思ったら、まさにこれについた記事があった。

缶バッジ 缶バッチ？違いの謎を解明 | 缶バッジの達人缶バッジ 缶バッチ？違いの謎を解明

上記の記事ではバッジとバッヂ両方ありとしながら英語の綴り的にバッジだろうと。
バッチはそもそも間違い。