Bilateral Series Approximationのr^-αへの収束性

定義域で連続かつ区分的に滑らかな関数φ(r)，そのメリン変換

及びパラメータb( > 1)を用いて，r^-αをbilateral series expansionで近似（bilateral series approximation，以下BSA）することを考えます。

このとき，

が成立すること以下で示します。
また，φ(r)がガウス関数であったときの収束性を調べます。

ポアソン和公式

BSAはjに関する和になっていますが，ポアソン和公式を用いてjを連続変数xで表す形に変形します。

変数変換

次に以下の変数変換を考えます。

このとき，

となります。
また，「x: -∞ → ∞」に対して「u: ∞ → 0」となるため，BSAの表式は

と変形することができます。
更に式変形すると

となります。
以上より，目的の表式を得ることができました。

根の存在

上式では誤差の上限が与えられますが，特定のrに対しては0を取る（＝根が存在する）性質もあります。
以下では，

を用いることにより，1 ≦ r < bの範囲に最低1つ以上の根があることを示します。
具体的に計算していくと，

となります。
r^-1は1 ≦ r < bの範囲で常に正の値をとるため，積分が0になるためには

が1 ≦ r < bの範囲で最低でも1回は正→負もしくは負→正と符合が反転する必要があります。
これは

を満たすr_0が最低１つは存在することと等価です。

φ(r)がガウス関数の場合

φ(r)がガウス関数の場合，そのメリン変換はガンマ関数になります。

このとき，BSAのr^-αに対する誤差の不等式は

となります。
右辺のn=1の項

に着目してみます。
Δ≂0(b≂1)の場合，ガンマ関数をスターリングの公式を用いて近似することができます。

上式の右辺を整理すると，

となります。これより，

となります。

より，

これより，n=1の項は1/Δに対して指数関数的に減衰することが分かります。|n| > 1は更に早く減衰することを考慮すると，不等式の右辺は|n| = 1以外の項の寄与が小さいため，

が大よそ成立することが期待されます。
Δ→0で右辺が0に収束するため，BSAはr^αに収束します。

参考文献

1. J. Chem. Phys. 152, 084113 (2020)