r^-αの3次元フーリエ変換
0 < α < 3において，r^-αの3次元フーリエ変換が
と表現できることを示します。
極座標の採用
まず積分変数を極座標にすると，
と式変形することができます。
ガンマ関数とx^{1-α}の関係
次に，ガンマ関数
とx^{1-α}を関連付けます。
1 < α < 3の場合，ガンマ関数のxにα-1を代入し，更にt=xsと変数変換すると，
なる関係式が得られます。
1 < α < 3の場合
ガンマ関数とx^{1-α}の関係式を積分に代入すると
が得られます。
最後の部分の式変形は，参考文献1から
が成立することを利用しました。
ガンマ関数と三角関数の間に
が成立するため，
となります。
更にガンマ関数の倍数公式を用いると
なる関係式が得られるため，
となります。
以上をまとめると，
となり，1 < α < 3に対して目的の表式を得ることができました。
0 < α < 1の場合
1 < α < 3の場合と少し異なりますが，似たような式変形をしていくと，
と同じ表式にたどり着きます。
α = 1の場合
α = 1の場合，
となります。
以上より，0 < α < 3において目的の表式を得ることができました。