周期的に繰り返される電荷分布の静電ポテンシャル

電荷分布ρが

と周期的に繰り返される状態の際，その電荷分布の静電ポテンシャルΦが

と表現できることを以下で示します。ここで，

はρのフーリエ級数を表します。また，Ωは体積V(=L_x * L_y * L_z)を積分範囲とする場合，一方R^3は定義域全体を積分範囲とする場合の表記となります。
Φのフーリエ級数を式変形すると，

が得られます。r'に関する積分に着目すると，

となります。これより，Φのフーリエ級数

が得られます。以上より，

と目的の表式を得ることができました。