統計検定準１級2024年最新問題 Part3

問：
$${N(μ_x, σ^2)}$$に従う母集団と$${N(μ_y, σ^2)}$$に従う母集団からそれぞれn個のサンプルX, Yを採取し、その平均の差をD$${= \overline{X}-\overline{Y}}$$とおくとする。
この時、Dを標準化した値Zを求めよ。

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解法:

$$
Z = \frac {サンプルで獲得した推定値 - 期待値} {標準偏差} 
$$

で与えられるので、それぞれ求めていく。 

$$
サンプルで獲得した推定値 - 期待値 = (\overline{X}-\overline{Y}) - (μ_x - μ_y)
$$

標準偏差は分散の平方根であるので、まず分散を求める。
標本平均の分散は母集団の分散から標本数を割って求まるため、

$$
V(\overline{X}-\overline{Y}) = V(\overline{X}) + V(\overline{Y}) = \frac {σ^2} {n} + \frac {σ^2} {n} =  \frac {2σ^2} {n}
$$

よって

$$
標準偏差 =  \sqrt \frac {2σ^2} {n}
$$

結果、

$$
Z = \frac {(\overline{X}-\overline{Y}) - (μ_x - μ_y)} {σ\sqrt \frac {2} {n}} 
$$

が求まる。