統計準１級２０２４年度最新問題 Part2: 条件付き独立、条件付き確率

---

問:
あるデータセットにおいて、3つの事象 A、B、および Cがあり、それぞれ次の情報が与えられている。

$$
P(A∣B)=0.4 \\
P(B∣C)=0.5 \\
P(A∣C)=0.6 \\
P(B)=0.3 \\
P(C)=0.4 \\
A⊥C∣B
$$

この時$${P(A∩B∩C)}$$を求めよ。

---

解説：
まずは$${P(A∩B∩C)}$$を分解する。
$${P(A∩B∩C)}$$は言い換えれば事象Cが起こった際に$${A \cap B}$$が起きる確率なので、以下が成立する。

$$
P(A∩B∩C) = P(A∩B ∣ C) * P(C)
$$

さらに、

$$
P(A∩B∣ C) = P(A ∣ B∩C) * P(B ∣ C)
$$

ということが言える。
これは、$${P(A∩B∣ C)}$$という事象はCが起こった条件下でまず B が起こり、その後AがBとCの両方が起こった条件下で起こる確率と言えるからである。

ここで、$${A⊥C∣B}$$について考えると、事象 B が既知である場合に事象 AとCが互いに独立であるということを指している。つまりはAがBとCの両方が起こった条件下の確率からCを抜くことができる。

よって、

$$
P(A∩B∩C) = P(A∣B)*P(B∣C) * P(C)
$$

ということが言える。
値を代入し、
P(A∩B∩C) = 0.4*0.5*0.4 = 0.08

となる。