行動科学特論 高橋泰城 7/21 授業ノート
１週間でやったこと
勉強方法の確立
１から５までを順にやる
現在１は見終わったため、２〜５をやっている
１．ノビノリの量子力学系の動画を見る
必要になった微分方程式、ナブラ演算子を学んだ
２．馬場敬之『量子力学キャンパス・ゼミ』（2015年、マセマ出版社）
３．猪木慶治・川合光『基礎量子力学』（2007年、講談社）
４．後藤憲一、西山敏之、山本邦夫、望月和子、神吉健、興地斐男『詳解 理論応用量子力学演習』（2004年、共立出版）
５．院試
→過去問
見つけた新しめの量子力学の演習本
・中嶋貞雄、吉岡大二郎『例解 量子力学演習 物理入門コース／演習』（2020年、岩波書店）
・小出昭一郎、水野幸夫『量子力学演習（新装版）』（2020年、裳華房）
※裳華房（しょうかぼう）
・鈴木久男、大谷俊介『演習しよう量子力学』（2016年、数理工学社）
授業でやること
・量子力学の勉強内容に関する確認
・院試の過去問を解く
院試過去問
東北大2021年3月専門科目物理専門
時間に依存しないシュレディンガー方程式は、
$${ \{ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x) \} \psi(x) = E\psi(x) }$$
よって、
$${ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = E\psi(x)(0≦x≦δ) -①}$$
井戸の外側では粒子は存在確率が０なので、
$${ \psi(x) = 0(x≦0, δ≦x)-②}$$
(0≦x≦δ)において、
$${ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)(0≦x≦δ)}$$
ここで、
$${k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} }$$
であるが、V(x)≧0なので、0≦E≦∞より、
k≧0
ゆえに、
$${ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - k^2\psi(x)(0≦x≦δ)}$$
２階微分して元の関数に戻るものを考えると、<微分方程式>
ここで、0≦x≦δにおける粒子の定常状態の波動関数$$\psi(x)$$は
$${\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}}$$
(1)x=0, x=δにおける境界条件を示せ.
ここで、波動関数に連続性を課す
(0≦x≦δ)を領域Ⅰ、(x≦0, δ≦x)を領域Ⅱとすると、
波動関数が連続となるためには、
$${(1) \psi_Ⅰ(x) = \psi_Ⅱ(x)}$$
$${(2) \frac{\psi_Ⅰ(x)d}{dx} =\frac{\psi_Ⅱ(x)d}{dx} }$$
を波動関数が満たせばよい
x=0で波動関数が連続となるためには、
①、(1)より、
$${\psi(0) = Ae^{ik 0} + Be^{-ik0}=0}$$
$${\psi(0) = ik*A e^{ik 0} - ik*Be^{-ik0}=0}$$
よって、
$${A+B=0}$$
$${ik(A-B)=0}$$
よって、A+B=0, A-B=0
ゆえに、A=B=0
x=δで波動関数が連続となるためには、
$${\psi(δ) = Ae^{ikδ} + Be^{-ikδ}}=0$$
$${\psi(δ) = Aik *e^{ik δ} + Bik*e^{-ikδ}=0}$$
であればよい
そもそも、A=B=0ならどこにも粒子が存在しないことになってしまう
授業
・ポテンシャルとは
・波動関数を三角関数で表す問題とe^ikxで表す問題があるが、使い分けの基準は？
確率流（基礎量子p.86）
https://note.com/no_kijin23721/n/n903939884b82
初期のボーアとかは実験的に解いていた
どっかにとどまっている（井戸型など）→三角関数
どっかに飛んでいくやつ（トンネル効果のやつ）→e^ikx
→でもまずはとにかく解いて覚えてみる
解き直し
回答を書き直す
ポテンシャルの高さが+∞のときには、一回微分Ψ'の連続性の条件が使えないため（『演習しよう量子力学』p.41）、x=0とx=δでの１つ目の条件のみで連立方程式を作り、解く
（中略）
「xに見出される確率」が0より、
Ψ(x)=0 (x≦0, δ≦x)
※「粒子の存在確率」「粒子がいる確率」は誤り
そこにいるわけではなく、宇宙全体に見出される確率が広がっている状態から、観測によって存在が確定するというだけだから
（中略）
(0≦x≦δ)を領域Ⅰ、(x≦0, δ≦x)を領域Ⅱとすると、
x=0での境界条件、すなわち、波動関数が連続となるには、
$${\psi_Ⅰ(0) = \psi_Ⅱ(0)}$$
$${\psi(0) = Ae^{ik 0} + Be^{-ik0}=0}$$
よって、
A+B=0
すなわち、
B=-A
x=δでの境界条件、すなわち、波動関数が連続となるには、
$${\psi(δ) = Ae^{ikδ} + Be^{-ikδ} = 0}$$
であればよい
よって、
$${Ae^{ikδ} - Ae^{-ikδ}=0}$$
→$${A(e^{ikδ} - e^{-ikδ}) =0}$$
ここで、A=0とすると、A+B=0とあわせてA=B=0となり、粒子がどこにも存在しないことになるため、A≠0
よって、
$${e^{ikδ} = e^{-ikδ}-③}$$
オイラーの公式は、
$${e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta}$$
であるため、オイラーの公式より、③は、
$${cosk\delta+isink\delta = \cos(-k\delta)+i\sin(-k\delta)}$$
→$${cosk\delta+isink\delta = \cos k\delta - i\sin k\delta}$$
→$${i \sin k\delta + i\sin k\delta = 0}$$
→$${2 i\sin k\delta = 0}$$
→$${\sin k\delta = 0}$$
よって、kδ=nπ (n∈整数)
従って、
$${k = \frac{n\pi}{\delta} (nは整数)}$$
次回の予定
(1)(a)
k=nπ/δが求まったので、規格化してAを求めよう
(2)は周期的境界条件
理論応用量子のpp.52-53
『偏微分方程式』（朝倉書店）のpp.148-149にも同じような問題
キーワード
中戸川孝治
小澤不等式（ハイゼンベルクの不確定性原理）
コペンハーゲン解釈
疑問：なぜポテンシャルの高さが+∞のときに一回微分Ψ'の連続性が使えないのかの数学的な証明
回答：シュレディンガー方程式が提供する波動関数の一次微分の連続性は、ポテンシャルが有限で、さらには空間的に連続な場合にのみ成り立つ
有限の壁に対しては波動関数の染み出しが起こるが、無限の壁に対しては起こらない
ポテンシャルが無限大ということは、「"絶対に"そこに粒子が存在してはいけない」(厳密には、"絶対に"xに見出されてはいけない)ということなので、染み出しも許されない
染み出しやトンネル効果が観測されるのは、壁の高さが有限のときのみ