中学数学の試験①

注意事項

数学の問題を50問作成しました。
ただし、中学数学の範囲外となる問題が含まれている可能性があります。

問題1: 以下の数列の第10項を求めよ。 1, 2, 4, 7, 11, 16, ...

問題2: 平行四辺形ABCDにおいて、AC = 6 cm、BD = 4 cmとし、角ACDが直角であるとき、面積を求めよ。

問題3: 円の半径が6 cmである。その円に外接する正方形の面積を求めよ。

問題4: 2次方程式 x^2 - 6x + 9 = 0 の解を求めよ。

問題5: 体積が72 cm^3である直方体の中で、表面積が最小となるものの辺の長さを求めよ。

解答：

解答1: 数列の差が等差数列であることに注目すると、数列の第n項a_nは、a_n = a_1 + (n-1) * d, ここでdは差である。差が1,2,3,4,5,...となっていることから、dは1,1,1,1,1,2,3,4,...と増加している。第10項はa_10 = 1 + 9 * 2 = 19である。

解答2: 三角形ACDの面積は、S = AC * CD / 2 = 6 * 4 / 2 = 12 cm^2である。平行四辺形の面積はS * 2 = 24 cm^2である。

解答3: 円に外接する正方形の対角線の長さは円の直径と等しいため、対角線の長さは12 cmである。正方形の1辺の長さは対角線の長さ/√2であるため、1辺の長さは6√2 cmである。よって、正方形の面積は36 * 2 = 72 cm^2である。

解答4: x^2 - 6x + 9 = 0は(x - 3)^2 = 0と同値であるため、解はx = 3である。

解答5: 直方体の3辺をx, y, zとし、表面積をSとすると、S = 2(xy + yz + zx) = 2(72/x + 72/y + 72/z) = 144/x + 144/y + 144/zである。この式を最小化するために、x,y,zのどれか1つを増やせば他の2つを減らせることを利用し、x=y=zと仮定すると、S = 6x^2である。この式を微分すると、dS/dx = 12x = 0となるため、x=6となる。

問5は多分高校数学かな？微分使っているし。けそ、中学数学でも解けない事はないかな？