数理にふれてみる Vol.3 床関数の四則演算について改めて考える

床関数の四則演算を改めて考えてみる。

前回、疑似少数$${F}$$を用いて床関数の乗算と乗算に対する$${\sum}$$公式に触れたところで終わった。

$$
\begin{align}
\set{R \in \R, a \in \N, b \in \N, \alpha \in \N, F \in \R \mid \xcancel{ 0< F < 1}    0 \leq F < 1}\\
\set{L_{b-1} \in \N \mid 0 \leq  L_{b-1} \leq b-1}\\
R= a + F  = b \alpha +  L_{b-1} + F\\
0 \leq \lfloor L_{b-1} + F \rfloor  \leq b-1
\end{align}
$$

$${L_{b-1}}$$は結局のところ、aをbで割った余りと同じだ。
$${ a \div b = \alpha \cdots  L_{b-1} }$$
$${L_{b-1} = a \mod b  }$$

Rとbの四則演算の床関数は以下の通り。

加算
$${\lfloor R + b \rfloor = \lfloor b \alpha + ( a \mod b) + F +b\rfloor = b\alpha + L_{b-1} + b}$$

減算
$${\lfloor R - b \rfloor = \lfloor b \alpha + ( a \mod b) + F - b\rfloor = b\alpha + L_{b-1} - b}$$

乗算
$${\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor b(b \alpha + ( a \mod b) + F) \rfloor = \lfloor b^2 \alpha + b \cdot L_{b-1} + b \cdot F \rfloor}$$
$${= b^2 \alpha + b \cdot ( a \mod b) + \exists \set{\lfloor bF \rfloor | 0,1,2,…,b-1}}$$

除算
$${\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor \alpha +\frac{( a \mod b) + F}{b} \rfloor = \alpha}$$

それぞれ、実際の数字を使って確認してみる。
R={18.001, 23.999, 36}, b={3, 6, 24}
観点：$${L_{b-1}}$$が0、範囲内、b-1でも矛盾ないか。Fが最大、最小でも矛盾ないか。

床関数の四則演算を計算して確かめてみる。

・加算

$$
\set{R=18.001, b=3} \Rarr \set{a=18, α=6, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 3 \times 6 + 0 + 0.001 + 3 \rfloor  = 3 \times 6 + 0 +3 = 21\\ .(✓)\\
\set{R=18.001, b=6} \Rarr \set{a=18, α=3, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 6 \times 3 + 0 + 0.001 + 6 \rfloor  = 6 \times 3 + 0 +6 = 24 \\. (✓)\\
\set{R=18.001, b=24} \Rarr \set{a=18, α=0, L_{b-1}=18, F=0.001}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 24 \times 0 + 18 + 0.001 + 24 \rfloor  = 24 \times 0 + 18 +24 = 27 \\ .(✓)\\
$$

$$
\set{R=23.999, b=3} \Rarr \set{a=23, α=7, L_{b-1}=2, F=0.999}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 3 \times 7 + 2 + 0.999 + 3 \rfloor  = 3 \times 7 + 2 +3 = 26\\ .(✓)\\
\set{R=23.999, b=6} \Rarr \set{a=23, α=3, L_{b-1}=5, F=0.999}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 6 \times 3 + 5 + 0.999 + 6 \rfloor  = 6 \times 3 + 5 + 6 = 29 \\. (✓)\\
\set{R=23.999, b=24} \Rarr \set{a=23, α=0, L_{b-1}=23, F=0.999}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 24 \times 0 + 23 + 0.999 + 24 \rfloor  = 24 \times 0 + 23 +24 = 47 \\ .(✓)\\
$$

$$
\set{R=36, b=3} \Rarr \set{a=36, α=12, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 3 \times 12 + 0 + 0.0 + 3 \rfloor  = 3 \times 12 + 0 +3 = 39\\ .(✓)\\
\set{R=36, b=6} \Rarr \set{a=36, α=6, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 6 \times 6 + 0 + 0.0 + 6 \rfloor  = 6 \times 6 + 0 +6 = 42 \\. (✓)\\
\set{R=36, b=24} \Rarr \set{a=36, α=1, L_{b-1}=12, F=0.0}\\
\lfloor R + b \rfloor = \lfloor 24 \times 1 + 12 + 0.0 + 24 \rfloor  = 24 \times 1 + 12 +24 = 60 \\ .(✓)\\
$$

・減算

$$
\set{R=18.001, b=3} \Rarr \set{a=18, α=6, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 3 \times 6 + 0 + 0.001 - 3 \rfloor  = 3 \times 6 + 0 - 3 = 15\\ .(✓)\\
\set{R=18.001, b=6} \Rarr \set{a=18, α=3, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 6 \times 3 + 0 + 0.001 - 6 \rfloor  = 6 \times 3 + 0 - 6 = 12 \\. (✓)\\
\set{R=18.001, b=24} \Rarr \set{a=18, α=0, L_{b-1}=18, F=0.001}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 24 \times 0 + 18 + 0.001 - 24 \rfloor  = 24 \times 0 + 18 - 24 =  -6\\ .(✓)※\lfloor -5.999 \rfloor=-6\\
$$

$$
\set{R=23.999, b=3} \Rarr \set{a=23, α=7, L_{b-1}=2, F=0.999}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 3 \times 7 + 2 + 0.999 - 3 \rfloor  = 3 \times 7 + 2 - 3 = 20\\ .(✓)\\
\set{R=23.999, b=6} \Rarr \set{a=23, α=3, L_{b-1}=5, F=0.999}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 6 \times 3 + 5 + 0.999 - 6 \rfloor  = 6 \times 3 + 5 - 6 = 17 \\. (✓)\\
\set{R=23.999, b=24} \Rarr \set{a=23, α=0, L_{b-1}=23, F=0.999}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 24 \times 0 + 23 + 0.999 - 24 \rfloor  = 24 \times 0 + 23 - 24 = -1 \\ .(✓)※\lfloor -0.001 \rfloor=-1\\
$$

$$
\set{R=36, b=3} \Rarr \set{a=36, α=12, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 3 \times 12 + 0 + 0.0 - 3 \rfloor  = 3 \times 12 + 0 -3 = 33\\ .(✓)\\
\set{R=36, b=6} \Rarr \set{a=36, α=6, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 6 \times 6 + 0 + 0.0 - 6 \rfloor  = 6 \times 6 + 0 -6 = 30 \\. (✓)\\
\set{R=36, b=24} \Rarr \set{a=36, α=1, L_{b-1}=12, F=0.0}\\
\lfloor R - b \rfloor = \lfloor 24 \times 1 + 12 + 0.0 - 24 \rfloor  = 24 \times 1 + 12 -24 = 12 \\ .(✓)\\
$$

・乗算

$$
\set{R=18.001, b=3} \Rarr \set{a=18, α=6, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor (3 \times 6 + 0 + 0.001) \times 3 \rfloor\\
= 3^2 \cdot 6 + 3 \cdot (18 \mod 3) + \lfloor 3 \times 0.001 \rfloor = 54\\ .(✓)\\
\set{R=18.001, b=6} \Rarr \set{a=18, α=3, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R \times b \rfloor = (\lfloor 6 \times 3 + 0 + 0.001) \times 6 \rfloor\\
= 6^2 \cdot 3 +3 \cdot (18 \mod 6) + \lfloor 6 \times 0.001 \rfloor = 108\\ .(✓)\\
\set{R=18.001, b=24} \Rarr \set{a=18, α=0, L_{b-1}=18, F=0.001}\\
\lfloor R \times b \rfloor = (\lfloor 24 \times 0 + 18 + 0.001) \times 24 \rfloor \\
= 24^2 \cdot 0 +24 \cdot (18 \mod 24) + \lfloor 24 \times 0.001 \rfloor = 432 \\ .(✓)\\
$$

$$
\set{R=23.999, b=3} \Rarr \set{a=23, α=7, L_{b-1}=2, F=0.999}\\
\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor (3 \times 7 + 2 + 0.999) \times 3 \rfloor\\
= 3^2 \cdot 7 +3 \cdot (23 \mod 3) + \lfloor 3 \times 0.999 \rfloor = 71\\ .(✓)\\
\set{R=23.999, b=6} \Rarr \set{a=23, α=3, L_{b-1}=5, F=0.999}\\
\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor (6 \times 3 + 5 + 0.999) \times 6 \rfloor\\
= 6^2 \cdot 3 + 6 \cdot (23 \mod 6) + \lfloor 6 \times 0.999 \rfloor = 143 \\. (✓)\\
\set{R=23.999, b=24} \Rarr \set{a=23, α=0, L_{b-1}=23, F=0.999}\\
\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor (24 \times 0 + 23 + 0.999) \times 24 \rfloor\\
= 24^2 \cdot 0 + 24 \cdot (23 \mod 24) + \lfloor 24 \times 0.999 \rfloor = 575 \\ .(✓)\\
$$

$$
\set{R=36, b=3} \Rarr \set{a=36, α=12, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor (3 \times 12 + 0 + 0.0) \times 3 \rfloor\\
= 3^2 \cdot 12 + 3 \cdot (36 \mod 3) + \lfloor 36 \times 0.0 \rfloor = 108\\ .(✓)\\
\set{R=36, b=6} \Rarr \set{a=36, α=6, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor (6 \times 6 + 0 + 0.0) \times 6 \rfloor\\
= 6^2 \cdot 6 + 6 \cdot (36 \mod 6) + \lfloor 36 \times 0.0 \rfloor = 216 \\. (✓)\\
\set{R=36, b=24} \Rarr \set{a=36, α=1, L_{b-1}=12, F=0.0}\\
\lfloor R \times b \rfloor =\lfloor (24 \times 1 + 12 + 0.0) \times 24 \rfloor\\
= 24^2 \cdot 1 + 24 \cdot (36 \mod 24) + \lfloor 36 \times 0.0 \rfloor = 864\\ .(✓)\\
$$

・除算

$$
\set{R=18.001, b=3} \Rarr \set{a=18, α=6, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (3 \times 6 + 0 + 0.001) \div 3 \rfloor\\
=\lfloor 6 +\frac{( 18 \mod 6) + 0.001}{6} \rfloor = 6\\ .(✓)\\
\set{R=18.001, b=6} \Rarr \set{a=18, α=3, L_{b-1}=0, F=0.001}\\
\lfloor R \div b \rfloor = (\lfloor 6 \times 3 + 0 + 0.001) \div 6 \rfloor\\
=\lfloor 3 +\frac{( 18 \mod 3) + 0.001}{3} \rfloor = 3\\ .(✓)\\
\set{R=18.001, b=24} \Rarr \set{a=18, α=0, L_{b-1}=18, F=0.001}\\
\lfloor R \div b \rfloor = (\lfloor 24 \times 0 + 18 + 0.001) \div 24 \rfloor \\
=\lfloor 0 +\frac{( 18 \mod 24) + 0.001}{24} \rfloor = 0 \\ .(✓)\\
$$

$$
\set{R=23.999, b=3} \Rarr \set{a=23, α=7, L_{b-1}=2, F=0.999}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (3 \times 7 + 2 + 0.999) \div 3 \rfloor\\
=\lfloor 7 +\frac{( 23 \mod 3) + 0.999}{3} \rfloor = 7\\ .(✓)\\
\set{R=23.999, b=6} \Rarr \set{a=23, α=3, L_{b-1}=5, F=0.999}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (6 \times 3 + 5 + 0.999) \div 6 \rfloor\\
=\lfloor 3 +\frac{( 23 \mod 6) + 0.999}{6} \rfloor = 3 \\. (✓)\\
\set{R=23.999, b=24} \Rarr \set{a=23, α=0, L_{b-1}=23, F=0.999}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (24 \times 0 + 23 + 0.999) \div 24 \rfloor\\
=\lfloor 0 +\frac{( 23 \mod 24) + 0.999}{24} \rfloor = 0 \\ .(✓)\\
$$

$$
\set{R=36, b=3} \Rarr \set{a=36, α=12, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (3 \times 12 + 0 + 0.0) \div 3 \rfloor\\
=\lfloor 12 +\frac{( 36 \mod 3) + 0.0}{3} \rfloor = 12\\ .(✓)\\
\set{R=36, b=6} \Rarr \set{a=36, α=6, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (6 \times 6 + 0 + 0.0) \div 6 \rfloor\\
=\lfloor 6 +\frac{( 36 \mod 6) + 0.0}{6} \rfloor = 6\\ .(✓)\\
\set{R=36, b=24} \Rarr \set{a=36, α=1, L_{b-1}=12, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (24 \times 1 + 12 + 0.0) \div 24 \rfloor\\
=\lfloor 1 +\frac{( 36 \mod 24) + 0.0}{24} \rfloor = 1\\ .(✓)\\
$$

床関数の四則演算は実数と自然数に関しては矛盾なく成り立つ。
(たぶん整数も）

床関数の数列の和を考えてみる。

$$
というわけで、数列の和は\\
\sum^{b}_{k=1}  \lfloor R \div b \rfloor = \sum^{b}_{k=1}  \alpha = b \alpha
$$

$$
しかし、肝心の以下はどうなるだろうか。\\
\sum^{n}_{k=1}  \lfloor \frac{n}{k} \rfloor
$$

$$
nは固定でkは1からnまで推移し\\
\set{\lfloor \frac{n}{1} \rfloor,
\lfloor \frac{n}{2} \rfloor,
\lfloor \frac{n}{3} \rfloor
,… ,
\lfloor \frac{n}{n} \rfloor
}
を加算するということになる。
$$

$$
\set{n=11}として\sum^{n}_{k=1}  \lfloor n \div k \rfloorを考えてみる。\\
\set{R=11, b=1} \Rarr \set{a=11, α=11, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (1 \times 11 + 0 + 0.0) \div 1\rfloor\\
=\lfloor 11 +\frac{( 11 \mod 1) + 0.0}{1} \rfloor = 11\\
\\
\set{R=11, b=2} \Rarr \set{a=11, α=5, L_{b-1}=1, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (2 \times 5 + 1 + 0.0) \div 2\rfloor\\
=\lfloor 5 +\frac{( 11 \mod 2) + 0.0}{2} \rfloor = 5\\
\\
\set{R=11, b=3} \Rarr \set{a=11, α=3, L_{b-1}=2, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (3 \times 3 + 2 + 0.0) \div 3\rfloor\\
=\lfloor 3 +\frac{( 11 \mod 3) + 0.0}{3} \rfloor = 3\\
\\\vdots\\
\set{R=11, b=10} \Rarr \set{a=11, α=1, L_{b-1}=10, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (11 \times 1 + 0 + 0.0) \div 10\rfloor\\
=\lfloor 1 +\frac{( 11 \mod 10) + 0.0}{11} \rfloor = 1\\
\set{R=11, b=11} \Rarr \set{a=11, α=1, L_{b-1}=0, F=0.0}\\
\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor (11 \times 1 + 0 + 0.0) \div 11\rfloor\\
=\lfloor 1 +\frac{( 11 \mod 11) + 0.0}{11} \rfloor = 1\\
$$

$$
kに依存するαを求めると、\\
n=k \cdot \alpha + L_{k-1}より、\\
\alpha = \frac{n - (n \mod k)}{k}
となり、\\
\sum^{n}_{k=1}  \lfloor \frac{n}{k} \rfloor = \sum^{n}_{k=1} \frac{n - (n \mod k)}{k}
$$

剰余演算の数列和を考えるのは大変そうだ。

剰余演算 - Wikipedia

グラフに描いてみた。ついでに素数の数式も。

グラフを描けるDesmosというサイトがあったので、このサイトを使って、今回みつけた公式を使ったグラフを描くことをしてみた。

除算の床関数の数列和

このグラフ、数値の範囲を大きくすると特定の傾きの直線のように見えるな。
この数式は約数の個数の総数になるから、近似で値を出せないかな。
パット見では$${y=10x}$$にみえるけど、範囲を広くすると10より大きいみたいだ。微妙にY方向の伸びが大きくなっている曲線かな。

こちらは約数の個数のグラフ（約数の個数が２つまり、y=2のところが素数）
これは、結構感動した。

約数の個数（素数の場合は２）数式

今回はここまで。