小数点以下を虚数のように扱って考えてみる Vol.1

床関数を数式化することに糸口があるような気がする

この動画を眺めていて、素数のところに行き着いたときに、あれ、あの公式に糸口があるのでは？と、なんとなく思いました。

以前、ちょっとしたきっかけで約数の数を求める公式を見つけたのですが、

1から自然数nまでの約数の個数の総和$${S_n}$$を以下の公式で求めることができる。
$${S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \Big\lfloor \frac{n}{k} \Big\rfloor }$$

なので、自然数nの約数の個数$${D_n}$$を以下の公式で求めることができる。
$${D_n = S_n - S_{n-1} }$$
$${D_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \Big\lfloor \frac{n}{k} \Big\rfloor - \displaystyle\sum_{l=1}^{n-1} \Big\lfloor \frac{n-1}{l} \Big\rfloor}$$

素数とは約数の個数が２であることになるので
$${D_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \Big\lfloor \frac{n}{k} \Big\rfloor - \displaystyle\sum_{l=1}^{n-1} \Big\lfloor \frac{n-1}{l} \Big\rfloor = 2}$$

となる自然数nが素数となる。
ということなので、この方程式を解決しやすくするために
この床関数$${\Big\lfloor \frac{a}{b} \Big\rfloor}$$を上手く汎化置換できれば、この動画にある$${\zeta(s)}$$の命題をクリアする材料になるのではないかと思ってしまいました。

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床関数の汎化を試みる

で、どうやって汎化するのか考えます。
アプローチ方法を一つ思い浮かべました。
「虚数$${i}$$のようにしてみたらどうだろうか」

自然数や整数と少数を含んだ有理数や無理数で階層分けして、
整数しか理解できない世界から観た少数というものを考えてみるということです。
少数という概念は既に知っていると思いますが、一度その概念を捨てて改めて性質を色々観ていこう、ということです。

というわけで、疑似少数「pseudo-few」$${F}$$と定義します。
あと、MOD演算もできれば上手く表現できたら良いだろうなと思います。

今回はここまで。

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派生：2進数で素数を考えてみる

2進数の素数と割り算について興味深い特徴を提示します。
ただし、これは自分の観測的推論です。
素数は2進数桁上りまでの数で唯一のパターンである。
既出のパターンが現れればそれは素数ではない。
例として２進数5桁までの素数をあげてみましょう。

&B10    = 2
&B11    = 3
&B101   = 5
&B111   = 7
&B1011  = 11
&B1101  = 13
&B10001 = 17
&B10011 = 19
&B10111 = 23
&B11101 = 29
&B11111 = 31

素数でない数は、5桁以下では同じパターンが現れます。

&B100   = 4   &B10
&B110   = 6   &B10, &B11
&B1000  = 8   &B10, &B100
&B1001  = 9
&B1010  = 10   &B10, &B101
&B1100  = 12   &B10, &B11,  &B110
&B1110  = 14   &B10, &B111
&B1111  = 15   &B11, &B101
&B10000 = 16   &B10, &B100, &B1000
&B10010 = 18   &B10, &B11, &B110, &B1001
&B10100 = 20   &B10, &B100, &B101, &B1010
&B10101 = 21   &B11, &B111
&B10110 = 22   &B10, &B1011
&B11000 = 24   &B10, &B11, &B100, &B110, &B1000, &B1100
&B11001 = 25   
&B11010 = 26   &B10, &B1101
&B11011 = 27   &B11, &B1001
&B11100 = 28   &B10, &B100, &B111
&B11110 = 30   &B10, &B11, &B101, &B110, &B1010, &B1111

確かに素数は同じパターンにはなりませんが、
奇数と奇数を掛けた数も同じパターンとはなりません。

でも、なんとなく法則性があるようにもみえます。