超ひも理論にふれてみて、直線についてふと思ったこと
超ひも理論の動画を観て面白かったので、
刺激を受けて思い浮かべたことを書き記します。
数の概念を探って疑問が浮かぶ
自然数を一個二個と「物」を数えるときに使いますよね？
では、「現実世界の目の前の机にあるリンゴ」を「現実世界の物」として数えるとしましょう。
「現実世界の物」でもあるリンゴは、それぞれ見た目も色も全く違うものです。同じものは現実世界には存在しないでしょう。
なので、数える対象は、たとえ「現実世界の物」であっても「複数の条件に制約された範囲」における概念でもあります。
「そこにあるリンゴ」って言われたら人はすぐに認知できますが、ロボットには範囲や条件を指定しないと認知できないですよね。
「現実世界の物」でもあるリンゴを素粒子の塊と考えたとき、一個って何を表していますか？
「素粒子の集合体」ですよね？それも素粒子の数も種類もバラバラです。
自然数で数える一個二個ですら概念ということです。
物理では現実世界の事象を説明するために数式を用います。
直線を描いてみます。
一次元の世界ですね。自然数、有理数、無理数で一直線上を隙間なく数が埋まるものとしています。実数ですね。
でも虚数$${i}$$は複素平面上にしか現れず、一次元の世界の直線上には現れないとされています。
でも本当にそれでよいのでしょうか。
数学の世界を物理の世界に反映し、現実世界について思考実験を行う際、上記の前提に基づいて考えています。しかし、現実世界を記述する物理の理論においても、虚数の概念を拡張した「四元数」が用いられています。これは矛盾していないでしょうか？
現実世界にも虚数が実在していると考えるべきではないでしょうか？
つまり、現実世界には「実数階層という制約」のない複素数の一次元直線が存在しているのではないでしょうか？
※あまり詳しくないので大胆なことを思いつくまま率直に言っています。素粒子を説明できているので実在はしているというかすでに論理は成立しているはず。
自然数階層の直線について考えてみる
$${\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}}$$
自然数階層においての直線を表現してみる。
$${n \in \mathbb{N}}$$
$${y = 2n}$$
これは自然数の制約下においては連続した直線を表している。
自然数の制約下の中では存在しないが、概念として少数点以下の部分が仮に存在するとして$${d}$$としたとき、
$${n_1}$$から$${n_2}$$の間は$${n_1 + d}$$となる。
ここで、$${n_1}$$<$${n_1 + d}$$<$${n_2}$$とできても、dの倍数である$${2d}$$は$${2d < 1}$$が不確定のため、自然数階層では$${y = 2(n + d)}$$は直線上にうまく表現できないと言えると思う。
たぶん、表現しようとするとMOD(剰余)等を用いることになると思う。
うまく表現できないといった面や表現しようとするときのアプローチは虚数や四元数に似ているように思えませんか？
非ユークリッド幾何学における直線
３次元の球体の表面における直線って非ユークリッド幾何学で表すようなことを聞いたことがあります。
球体の内部には、球体の範囲内で直線を引けます。また球体の表面は曲がっているようにも見えますが、直線を引けます。
もしかして、四元数の階層における直線って非ユークリッド幾何学に通じるのではないでしょうか。
不等号を組み合わせで考えてみる
一次元で考えたとき大小の比較ができるということは重要な要素です。
複素数階層の場合は、複素数（$${a + bi}$$）をそのままでは不等号で比較できません。実数(Re)、虚数(Im)、ベクトルと、範囲を定義する必要があります。
なので、不等号の定義の拡張ってできないものでしょうか？と、ふと思いました。
比較は比較演算子の組み合わせ
比較結果は論理値の組み合わせ
$$
\begin{pmatrix}
>\\
<\\
=
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
Unknown(Imperceptible)\\
False\\
True\\
Superposition
\end{pmatrix}
$$
これらを表にしたもの。
比較論理はこの組み合わせのいずれかになるはずです。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
パターン番号& 比較演算子 & 結果 &ビット表記 & 意味 \\
\hline
0 & ？ & Unknown & 000.00& 比較と結果ともに不明 \\
1 & ？ & True & 000.01& 比較が不明で正しい \\
2 & ？ & False & 000.10& 比較が不明で正しくない \\
3 & ？ & Superposition& 000.11& 比較が不明で結果は重ね合わせ \\
\hline
4 & = & Unknown& 001.00& AとBの等価性は不明 \\
5 & = & True & 001.01& AとBは等しい \\
6 & = & False & 001.10& AとBは等しくない \\
7 & = & Superposition& 001.11& AとBの等価性は重ね合わせ \\
\hline
8 & < & Unknown & 010.00& AとBの大小関係は不明 \\
9 & < & True & 010.01& Aは Bより小さい \\
10 & < & False & 010.10& Aは Bより小さくない \\
11 & < & Superposition & 010.11& AとBの大小関係は重ね合わせ \\
\hline
12 & \leq & Unknown & 011.00& AとBの大小関係は不明 \\
13 & \leq & True & 011.01& Aは B以下 \\
14 & \leq & False & 011.10& Aは B以下ではない \\
15 & \leq & Superposition& 011.11& AとBの大小関係は重ね合わせ \\
\hline
16 & > & Unknown & 100.00& AとBの大小関係は不明 \\
17 & > & True & 100.01& Aは Bより大きい \\
18 & > & False & 100.10& Aは Bより大きくない \\
19 & > & Superposition& 100.11& AとBの大小関係は重ね合わせ \\
\hline
20 & \geq & Unknown & 101.00& AとBの大小関係は不明 \\
21 & \geq & True & 101.01& Aは B以上 \\
22 & \geq & False & 101.10& Aは B以上ではない \\
23 & \geq & Superposition& 101.11& AとBの大小関係は重ね合わせ \\
\hline
24 & \neq & Unknown & 110.00& AとBの等価性は不明 \\
25 & \neq & True & 110.01& AとBは等しくない \\
26 & \neq & False & 110.10& AとBは等しい \\
27 & \neq & Superposition& 110.11& AとBの等価性は重ね合わせ \\
\hline
28 & ＊ & Unknown & 111.00& どの比較もあり得るが結果は不明 \\
29 & ＊ & True & 111.01& どの比較もあり得るが結果は等しくない \\
30 & ＊ & False & 111.10& どの比較もあり得るが結果は等しい \\
31 & ＊ & Superposition& 111.11& 比較も結果も重ね合わせ \\
\hline
\end{array}
$$
さらに比較対象を掛け合わします。
$$
\begin{pmatrix}
実数部\\
虚数部\\
複素数
\end{pmatrix}
$$
今回は数値の比較という概念で比較演算子を用いましたが、比較でなくても演算子なら何でも良い気がします。関係演算子という感じでしょうか。
一般化すると因果関係マトリクスというものかもしれません。
これで何が言いたいかというと、直線は複数の点から構成されている前提です。比較したときに点ひとつひとつがこのマトリクスに対応しているということです。
ちょっと思ったのですが、
正負ってすでに相対的なベクトルの概念が入っていますね。
つまり整数階層の段階で、数の概念にベクトル要素が入っているということです。
素粒子の理論に確率要素が矛盾なく入っているのだから、論理階層や実数階層で確率の概念が入っているのでしょうか。
それとも四元数の階層の上には確率概念をうまく表現する階層があるのかもしれませんね。
超ひも理論をなんとか理解しようとしてみる
四元数($${\Re,i,j,k}$$)が３次元を表すとするならば、超ひも理論の９次元は十元数$${(\Re,i,j,k,l,m,n,o,p,q)}$$で表現できるってことかな？
それとも3×3で３次元の点の中に３次元が畳まれている感じかな？
立体の・(点)の中に虚実の立体があって・(点)がある感じ？
そんなところから発想です。
超ひも理論って、宇宙の最も基本的な構成要素が「点粒子」ではなく、「ひも（ストリング）」として記述されて、一次元のひもの振動を含めて重力を説明できるらしい。
四元数の直線のパラメトリック表現
直線は次のように表されます：
$${q(t) = q_0 + t \cdot v}$$
ここで：
・$${q_0}$$：直線の始点（四元数形式）
$${q_0 = a + b i + c j + d k}$$
・$${v}$$：直線の方向を示す方向ベクトル（四元数形式）
$${v = p + q i + r j + s k}$$
・$${t \in \mathbb{R}}$$：スカラー（実数パラメータ）
成分形式で展開すると：
各成分ごとに分けて書くと、四元数の直線は次のようになります：
$${q(t) = (a + t p) + (b + t q) i + (c + t r) j + (d + t s) k}$$
四元数直線の意味$${q_0}$$： 四元数直線の始点（最初の位置）を表します。
$${v}$$： 四元数直線の方向を表します。直線がどの方向に進むかを定義します。
$${t}$$： 直線上の任意の点を指定するためのスカラー値です。具体的には：
$${t = 0}$$：点は始点$${q_0}$$にあります。
$${t > 0}$$：$${v}$$の方向に進む点を表します。
$${t < 0}$$：$${v}$$の逆方向に進む点を表します。
四元数直線の応用
このように記述された四元数直線は、3D回転の補間や、4次元空間での軌道解析、ロボット工学などで使われます。特に、回転の線形補間（LERP）や球面線形補間（SLERP）の基礎として役立ちます。
いいなと思ったら応援しよう！
