数理にふれてみる Vol.2 疑似少数と床関数の関係性について考えてみる
疑似少数で数式をいじってみる。
虚数$${i}$$のように小数点以下を疑似少数を$${F}$$として扱って考えてみようということで、ノート上で色々数式をいじっていた。
$${\set{R \in \R, a \in \N, b \in \N, F \in \R \mid 0< F < 1} }$$
$${R = a+F}$$
としたときの除算
$${R \div b = \frac{a}{b}+\frac{F}{b} }$$
を考えたとき、
$${\frac{a}{b} \in \N}$$
であることが整数界において考えやすいのでは。
ということで、
任意の自然数であるaを
ｂの倍数から$${\set{L_{b-1} \mid b-1以下の自然数※\set{0,1,2, … b-1}のいずれか}}$$を足したものと定義。
$$
\begin{align}
\set{R \in \R, a \in \N, b \in \N, \alpha \in \N, F \in \R \mid 0< F < 1}\\
\set{L_{b-1} \in \N \mid 0 \leq L_{b-1} \leq b-1}\\
R= a + F = b \alpha + L_{b-1} + F
\end{align}
$$
これで除算を改めて考えてみる。
$${R \div b = \frac{a}{b}+\frac{F}{b} }$$
$${= \frac{b \alpha + L_{b-1}}{b}+\frac{F}{b} }$$
$${= \alpha +\frac{L_{b-1} + F}{b} }$$
となる。
ここで、いったん床関数を用いてみると、
$${\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor \alpha +\frac{L_{b-1} + F}{b} \rfloor }$$
となり、
$${L_{b-1} \in \N \mid 0 \leq L_{b-1} \leq b-1, F \mid 0 < F < 1 }$$であるため
$${0 < L_{b-1} + F < b}$$なので、
$${0 < \frac{L_{b-1} + F}{b} < 1}$$が自明なので、
$${\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor \alpha +\frac{L_{b-1} + F}{b} \rfloor = \alpha}$$となる。
確かめてみよう。
R=23.99999、b=6としたとき
$${R=6 \times 3 + 5 + 0.99999}$$
$${\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor 23.99999 \div 6 \rfloor = 3}$$
R=18.00001、b=6としたとき
$${R=6 \times 3 + 0 + 0.00001}$$
$${\lfloor R \div b \rfloor = \lfloor 18.00001 \div 6 \rfloor = 3}$$
では乗算はどうだろうか？
$${R \times b = b(a + F)}$$
$${= ba + bF }$$
$${0 < bF < b}$$なので、$${0 \leq \lfloor bF \rfloor \leq b-1}$$が自明となる。
つまり、$${\lfloor bF \rfloor \in L_{b-1}}$$である。
床関数を用いてみると、
$${\lfloor R \times b \rfloor = \lfloor ba + bF \rfloor }$$
$${ = ba + \exists L_{b-1} \in \set{0,1,2, …, b-1} }$$
となり、0からb-1の幅で不確定となる。
※$${\exists L_{b-1} \in \set{0,1,2, …, b-1}}$$は、b-1以下の自然数※$${\set{0,1,2, … b-1}}$$のいずれか任意の一つを表しているつもり。
なので
$${\sum^{b}_{k=1} \lfloor R \times b \rfloor = \sum^{b}_{k=1} ba + \sum^{b}_{k=1} \exists L_{b-1} \in \set{0,1,2, …, b-1} }$$
$${= ab^2 + b \times \exists L_{b-1} \in \set{0,1,2, …, b-1} }$$
$${\sum^{b}_{k=1} \lfloor R \times k \rfloor = \sum^{b}_{k=1} ka + \sum^{b}_{k=1} \exists L_{k-1} \in \set{0,1,2, …, k-1} }$$
$${= \frac{a}{2}b(b+1) + b \times \exists L_{k-1} \in \set{0,1,2, …, k-1} }$$
ここで、リーマンっぽくやってみるとどうなるだろうか？
ガウスが研究していた代数的整数
調べ始めるといきなりガウスの研究が見つかった。ガウス記号を作った人だから当然か。
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