ふりかえり高校数学3 論理

これからいくらか投稿するこの記事は，これから大学で数学を扱うには高校の内容を忘れてしまったという仲間うちで行った勉強会の内容である．そのため，内容は最低限であって何か則っているわけではないし，高校生や社会人の参考になるかどうかというのも全くわからないことを最初に断っておく．

文頭で % 記号を用いている段落はちょっとしたつぶやきだと思ってほしい．

Chapter 3 論理

ここでは今後扱いたい内容のための一部しか説明しないが，数学は論理と密接だから余裕があればちゃんと扱いたい．

3.1 命題と条件

命題とは真偽の定まる文のことである．真偽が定まるとは正しいか正しくないかが自然と決まっていることを指す．

以下，問題とする文や命題・条件は「」で示すことにする．

例えば「2は大きい数だ」という文には真偽が存在しない．では，「1は自然数である」という文ではどうだろうか．これは自然数の集合に含まれているため真であると定まる．また「2は1より小さい」という文は明らかに間違っていて偽であると定まる．

命題はこのように真偽が存在する文のことを指す．

また条件とは命題に文字が含まれていて，その値によって真偽が異なる命題のことである．つまり文字の値があるときには真となり，あるときには偽であるような命題を条件と言ったりする．

例えば「$${x \in \mathbb{R}, x < 1}$$」を条件とみなせば，この条件は $${x}$$ が1より小さい実数とき，すなわち $${x < 1}$$ には真であり，1以上の実数のとき，すなわち $${x \geq 1}$$ のときには偽である条件である．

% 「$${x \in \mathbb{R}, x < 1}$$」は文字 $${x}$$ は実数であり1未満であるという意味である．

3.2 結合子

2つ以上の命題や条件を結合した新たな命題や条件をつくるための結合子には連言（かつ），選言（または），含意（ならば）がある．

それぞれの（）内には相当する日本語を書いておいた．おそらくこのほうが一般的である．

% 否定もあるが，ここでは上の3つだけを説明する．

これから説明するたびに命題と条件と連ねるのは冗長であるため，条件のことも含めて命題と略すことにする．

3.2.1 連言（かつ）

結合する2つの命題がともに真であるときだけ結合された1つの命題も真で，偽である命題が1つでもあれば偽となる結合．記号は $${\land}$$ がよく用いられる．

% 論理記号は本などによって異なるため注意してほしい．

% 結合によってできた命題は，命題が複合されているが，それ全体で1つの命題となる．したがってより複雑にいくつもの命題が複合された1つの命題もつくることができる．

例えば「1よりも大きい実数 $${x}$$」と「2よりも小さい実数 $${x}$$」の連言は「1より大きいかつ2より小さい実数 $${x}$$」となる．このとき真であるためには文どおり「1より大きく2より小さい実数 $${x}$$」である．

偽であるときには「1以下の実数 $${x}$$」でも「2以上の実数 $${x}$$」でも，どちらか一方であるならば「1より大きく2より小さい実数 $${x}$$」は偽となる．

3.2.2 選言（または）

結合する2つの命題のうち少なくとも1つが真であれば結合された1つの命題も真である．偽であるのは結合された2つの命題がともに偽である場合のみである．記号は連言と逆さまの $${\lor}$$ がよく用いられる．

% 数学か論理学では非排他的選言といって結合する2つの命題がともに真の場合でも真としている．ここでも非排他的選言として扱う．
これは非日常的な感覚である．例えばAまたはBをもらえるといわれたら片方だけを選ぶだろう．非排他的選言では両方もっていって構わないといっている．
なおどちらか一方が真であるときだけ真とする選言は排他的選言という．

例えば先の例での選言を考えると「1より大きいか2より小さい実数 $${x}$$」が結合された1つの命題となる．これが真なのはもとの命題の少なくとも一方が真のときかともに真であるときだから，「1よりも大きい実数 $${x}$$」でも真だし，「2よりも小さい実数 $${x}$$」だとしても真である．さらに非排他的選言であるから「1より大きく2より小さい実数 $${x}$$」でも真である．

3.2.3 含意（ならば）

% 含意によって結合する2つの命題について含意を表す論理記号 $${\rightarrow}$$ の左側にある命題を前件，右側にある命題を後件という．

前件が真である範囲において後件が常に成り立つ場合が真であり，前件が成り立つときに後件が成り立たないときが偽である．記号は $${\rightarrow}$$ をもちいる．

% 範囲とかいってしまうと集合っぽくて飛躍しているのだが，それがわかりやすいと思うのでここではそのまま進める．

といっても難しいと思うので，簡単な例を出してみる．

「$${x = 1 \rightarrow x > 0}$$」は明らかに真だろう．これを説明に沿って考えると，まず前件「$${x = 1}$$」が真である範囲はそのまま $${x = 1}$$ というひとつの値のことである．この値を後件に与えたとき，後件は真だろうか．後件は「$${x > 0}$$」であり，$${x = 1}$$ は明らかに $${x > 0}$$ だろう．したがって結合された1つの命題「$${x = 1 \rightarrow x > 0}$$」は真である．

次に「$${x > 1 \rightarrow x = 0}$$」を考えてみる．これは偽の命題である．なぜなら $${x > 1}$$ である数 $${x}$$ では $${x = 0}$$ が成り立つことはなく，常に $${x \neq 0}$$ だからである．
つまり前件が成り立つすべての範囲において後件が成り立たないから偽である．

ここでは真理値について触れる必要はないが，含意の真理値は理解しがたいようなので少しだけ触れておく．含意の真理値表を示す．

% 真理値とは論理値が必ず持つ真（t）か偽（f）かの値のことで，これを用いて複雑な構造をもつ論理式の真偽を分析できる．

$$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline
A & B & A \rightarrow B\\ \hline
\text{t} & \text{t} & \text{t}\\ \hline
\text{t} & \text{f} & \text{f}\\ \hline
\text{f} & \text{t} & \text{t}\\ \hline
\text{f} & \text{f} & \text{t}\\ \hline
\end{array}

$$

理解しがたいのは前件が偽の場合にはその含意は後件の真偽に依らず常に真であることだ．

これは自分の理解で言えば，含意の命題では前件が成り立つ場合についてしか言っていないのだから前件が成り立たない場合について言及しておらず，後件はどうでもよい．そしてそのまま勝手に成り立つ．

例えば「晴れたら外出しよう」という文は「天気が晴れ ならば 私は外出する」のように言い換えられる．このとき日常的には，じゃあ雨のときは外出しないんだろうと思うかもしれないが，文の文字通りに読めば雨が降った場合については言及しておらず，雨が降ったときに外出していても知らないことだ．

% とはいえ前件が偽の場合の真理値は自由に決める余地があるのだが，真にすると色々とうまくいくという消極的な決め事らしい．そのためわかりにくいのも仕方ない．一応，「$${\neg}$$ A $${\lor}$$ B」にしたがって決めたらしい．

% ちなみによく「AならばB」を「AであるのにBでないということはない」と言い換えると日常に近いと説明される．

3.2.4 同値

2つの命題AとBについて，この含意「A $${\rightarrow}$$ B」と「B $${\rightarrow}$$ A」がともに成り立つときに同値といい「A $${\leftrightarrow}$$ B」と書く．

つまりAの範囲でBが常に成り立ち，Bの範囲でAが常に成り立つということである．

同値は重要な概念であり，要するに論理におけるイコールに相当するため，問題を扱うためには必ず考えなければならない．同値性を無考慮に論理を考えることはできない．

次に扱う方程式は，特に同値な変形を意識しやすいと思う．