They have the right that everyone has to live a healthy and cultural life.

　「誰もが健康で文化的な生活を送らなくてなならないという権利を彼らは持っている。」

　と訳しては誤りです。

　左から右へ読んで、
　
　They have the right that 

まで来たところでこの that は関係代名詞なのか、同格の接続詞なのか、考えます。
　
　同格の that は、fact, Idea, news, chance のような情報や可能性を表す名刺の後に来るので、right の後には来ないことから、この that は関係代名詞である事が分かります。

　なので、この文は、

　They have the right that everyone has / to live a healthy and cultural life.

 と読み下すべきで、正しい訳は、

　「彼らは持っている、誰もが持っている権利を、健康的で文化的な生活を送るという。」