微分の定義と連鎖律

序論

定義1   $${x=a}$$ を含むある開区間で定義された関数 $${f(x)}$$ について極限値 $${\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h}$$ が存在するとき, $${f(x)}$$ は $${x=a}$$ で微分可能であるといい, 極限値 $${\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h}$$ を $${f'(a)}$$ で表し, $${x=a}$$ における微分係数と呼ぶ.

この定義はごく普通の微分の定義である.   この定義を少し言い換えることにより次の定理が成り立つ.

定理1   関数 $${f(x)}$$ が $${x=a}$$ を含むある開区間で定義されているとする.   このとき $${f(x)}$$ が $${x=a}$$ で微分可能で微分係数が $${\alpha}$$ であるための必要十分条件は $${h=0}$$ を含むある開区間で定義された $${h=0}$$ で連続な関数 $${\rho(h)}$$ が存在し,

$$
f(a+h)=f(a)+\alpha h+ h\rho(h), \quad \rho(0)=0
$$

を満たすことである.

証明 必要性.   関数 $${\rho(h)}$$ を

$$
\rho(h) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}h-\alpha \quad & h\neq0 \\ 0 & h=0
\end{array}
\right.
$$

と定めると $${a+h}$$ が $${f(x)}$$ の定義域に含まれるような $${h}$$ について $${f(a+h)-f(a)=\alpha h+h \rho(h)}$$ が成り立つ.   さらに, $${f(x)}$$ は $${x=a}$$ で微分可能だから

$$
\lim_{h\rightarrow0}\rho(h)=\lim_{h\rightarrow} \frac{f(a+h)-f(a)}h-\alpha
=0=\rho(0)
$$

であり, $${\rho(h)}$$ は $${h=0}$$ で連続である.

十分性.

$$
\frac{f(a+h)-f(a)}h
= \lim_{h\rightarrow0}\frac{\alpha h+h \rho(h)}h
=\lim_{h\rightarrow0}(\alpha+\rho(h))=\alpha
$$

より $${f(x)}$$ は $${x=a}$$ で微分可能で $${f'(a)=\alpha}$$ が成り立つ.      $${\Box}$$

この定理は微分の定義を関数 $${\rho(h)}$$ の存在で置き換えてもよいことを示している.   著者自身は大学生のとき微分積分学の教科書でこの定理と同じ意味の定理を見たとき何が言いたいのかわからなかった.   おそらく, 多くの読者が同じように感じていると思われるがこの記事ではその置き換えが意外に役立つことを紹介する.

関数 $${f(x)}$$ と $${g(x)}$$ の合成関数 $${g(f(x))}$$ を $${(g{\circ}f)(x)}$$ で表し, その前に合成関数の微分の公式を考えよう.

$$
\begin{array}{rcl}
&&\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{(g{\circ}f)(a+h)-(g{\circ}f)(a)}h\\
&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}h\\
&=&\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{f(a+h)-f(a)}
\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}h
\end{array}
$$

$${k=f(a+h)-f(a)}$$ とおくと $${h\rightarrow0}$$ のとき $${k\rightarrow0}$$ だから

$$
\begin{array}{rcl}
&&\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{(g{\circ}f)(a+h)-(g{\circ}f)(a)}h\\
&=&\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(f(a)-k)-g(f(a))}k\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}h\\
&=&g'(f(a))f'(a)
\end{array}
$$

これで, 合成関数の微分の公式を証明できたと考えるのは間違いである.    本質的な考え方に誤りがあるわけではなく細かい配慮が足りないのだが， 数学の証明としては誤りであることに変わりはない.   ここで証明を修正することはしない.   分母に値の定まらない $${k}$$ があることが原因なので, その点に注意して微分積分学の本の証明を読み直すとそれぞれの工夫が読み取れることだろう.

ここからは微分の定義を変更して議論してみよう.
定義3   $${x=a}$$ を含むある開区間で定義された関数 $${f(x)}$$ に対して実数 $${\alpha}$$ と $${0}$$ を含むある開区間で定義された $${x=0}$$ で連続な関数 $${\rho(h)}$$ が存在して

$$
f(a+h)=f(a)+\alpha h+h\rho(h),\quad \rho(0)=0
$$

を満たすとき $${f(x)}$$ は $${x=a}$$ で微分可能といい, $${\alpha}$$ を
$${x=a}$$ における微分係数と呼び, $${f'(a)=\alpha}$$ と表す.

定義3 では $${x=a}$$ で微分可能な関数は $${x=a}$$ で連続なことはすぐわかる.   なぜなら, 定義の式の右辺は連続な関数の和と積で表されているからである.

例4   $${f(x)=x^n}$$ と $${g(x)=e^x}$$ を定義に従い微分せよ.

解   $${x=a}$$ とする.   $${\displaystyle \rho(h)=\sum_{k=2}^n{}_n{\mathrm C}_kh^{k-1}a^{n-k}}$$ とおき, $${f'(a)=na^{n-1}}$$ であることを示す.

$$
\begin{array}{rcl} \displaystyle
f(a+h) &=& \displaystyle (a+h)^n = \sum_{k=0}^n{}_n{\mathrm C}_kh^ka^{n-k}\\
&=& \displaystyle a^n + {}_n{\mathrm C}_1ha^{n-1}
+\sum_{k=2}^n{}n{\mathrm C}_kh^ka^{n-k}\\
&=& \displaystyle f(a)+na^{n-1}h+h\sum_{k=2}^n {}n{\mathrm C}kh^{k-1}a^{n-k}\\
&=&\displaystyle f(a)+n a^{n-1}h+h\rho(h)
\end{array}
$$

かつ

$$
\lim_{h\rightarrow0}\rho(h)
=\lim_{h\rightarrow0}\sum{k=2}^n{}_n{\mathrm C}_kh^{k-1}a^{n-k}
=0=\rho(0)
$$

だから, $${f'(a)=na^{n-1}}$$ である.

$${g'(a)=e^a}$$ を示す. 関数 $${\tau(h)}$$ を

$$
\tau(h) = \left\{
\begin{array}{ll}
e^a\left(\frac{e^h-1}h-1\right)\quad & h\neq 0 のとき \\
0 & h=0 のとき \end{array}\right.
$$

と定めると

$$
e^{a+h} = e^ae^h=e^a+e^ah+he^a\left(\frac{e^h-1}h-1\right)
=e^a+e^ah+h\tau(h)
$$

かつ

$$
\lim_{h\rightarrow0}\tau(h)=\lim_{h\rightarrow0}e^a\left(\frac{e^h-1}h-1\right)
=e^a\cdot0=0
$$

より $${\tau(h)}$$ は $${h=0}$$ で連続である

関数 $${f(x)}$$ と定数 $${c}$$ に対して関数 $${(cf)(x)}$$ を $${(cf)(x)=cf(x)}$$ と定める.   2つの関数 $${f(x), g(x)}$$ に対して関数 $${(f+g)(x)}$$, $${(f-g)(x)}$$, $${(fg)(x)}$$
をそれぞれ $${(f+g)(x)=f(x)+g(x)}$$, $${(f-g)(x)=f(x)-g(x)}$$, $${(fg)(x)=f(x)g(x)}$$ とする.   さらに $${g(x)\neq0}$$ のとき $${\displaystyle\left(\frac fg\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}$$ と定める.

定理5   $${x=a}$$ を含むある開区間で定義された関数 $${f(x), g(x)}$$ で定義された関数が $${x=a}$$ で微分可能ならば $${(cf)(x)}$$, $${(f+g)(x)}$$, $${(fg)(x)}$$ も $${x=a}$$ で微分可能であり, $${g(a)\neq0}$$ ならば  $${\displaystyle\left(\frac fg\right)(x)}$$ は $${x=a}$$ で微分可能である.

$$
\begin{array}{rcl} \displaystyle
(cf)'(a)&=& \displaystyle cf'(a)\\
(f+g)'(a)&=& \displaystyle f'(a)+g'(a)\\
(fg)'(a)&=& \displaystyle f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\\
\displaystyle\left(\frac fg\right)(x)&=& \displaystyle \frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^2}
\end{array}
$$

が成り立つ.ただし, $${c}$$ は定数である.

定理6（連鎖律）   $${x=a}$$ をある開区間で定義された関数 $${f(x)}$$ と $${y=b}$$ を含むある開区間で定義された関数 $${g(y)}$$ において, $${f(a)=b}$$ かつ $${f(x)}$$ は $${x=a}$$ で, $${g(y)}$$ は $${y=b}$$ でそれぞれ微分可能ならば合成関数 $${(g{\circ}f)(x)}$$ は $${x=a}$$ で微分可能で $${(g{\circ}f)'(a)=f'(a)g'(b)=f'(a)g'(f(a))}$$ が成り立つ.

定理5と定理6の証明は有料部分にありますので是非ご覧ください。

独り言

従来の定義1 とここで採用した定義3 を比較すると定理5 の証明は従来の定義が見通しが良くわかりやすい.   有り体に言って定義3を採用するのはお勧めしない.   従来の定義で議論を進めて合成関数の微分の直前に定理2 を示し,
それを用いて定理6 を証明するのがわかりやすいと思われる.