数学の演習問題

高校生向けの演習問題です。
この問題は 2023年度九州大学の入学試験問題の類題です

問題

実数全体で定義された実数値関数 $${f(x)}$$ と $${g(x)}$$ は次の 4条件を満たしている.
(A) すべての $${x,y}$$ について $${f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)}$$
(B) すべての $${x,y}$$ について $${g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)}$$
(C) $${f(0)\neq0}$$
(D) $${f(x), g(x)}$$ は $${x=0}$$ で微分可能であり $${f'(0)=0}$$, $${g'(0)=1}$$

以下の問いに答えよ.
(1) $${f(0)=1}$$, $${g(0)=0}$$ を示せ.
(2) すべての実数 $${x}$$ で微分可能で $${f'(x)=g(x)}$$, $${g'(x)=f(x)}$$ が成り立つことを示せ.
(3) $${f(x)+g(x)=e^x}$$ を示せ.
(4) 関数 $${f(x), g(x)}$$ を求めよ.

解答は有料です。