因数分解

足し算・掛け算の分配法則・結合法則により、下式が成り立ちます。
$${a(x + y) = ax + ay}$$

応用すると、下式を導けます。
$${(a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by}$$

左から右に読むと掛け算の式を足し算の式に変換していて、展開と呼ばれます。
右から左に読むと足し算の式を掛け算の式に変換していて、因数分解と呼ばれます。

展開は地道に計算していくことで結果を出せますが、逆操作である因数分解はひらめきと工夫が必要になります。

例えば、下式を展開します。
$${(x + 3)(x + 2)}$$

結果は$${x^2 + 5x + 6}$$です。

では逆に、$${x^2 + 5x + 6}$$が与えられたときの因数分解はどうしたらよいでしょうか。

先ほどの展開の操作内容を一般化すると
$${(x + a)(x+b) = x^2 + (a + b)x + ab}$$

$${x^2 + 5x + 6}$$と照らし合わせると
$${a + b = 5}$$
$${ab = 6}$$
であるような$${a, b}$$を求めると因数分解結果を出すことができます。

この$${a, b}$$の求め方は複数ありますが、そのうちの1つを紹介します。

二次方程式を解くために整式の因数分解が用いられることがありますが、逆に整式の因数分解を求めるために二次方程式を利用することもできます。

解が$${x = \alpha, \beta}$$であるような$${x}$$の二次方程式は
$${(x -\alpha)(x-\beta) = 0}$$
という構造をしています。

左辺を展開すると
$${x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0}$$

つまり、解が$${x = \alpha, \beta}$$であるような$${x}$$の二次方程式の一次項の係数は$${- (\alpha + \beta)}$$、定数項の係数は$${\alpha \beta}$$となります。

このことを応用します。

今は、$${x^2 + 5x + 6}$$を因数分解するために
$${a + b = 5}$$
$${ab = 6}$$
であるような$${a, b}$$を求めようとしています。

先ほどの話を踏まえると、$${x =a, b}$$は$${x}$$の二次方程式$${x^2 -(a + b)x + ab = 0}$$の解である、というロジックが成り立ちます。

$${x^2 -(a + b)x + ab = 0}$$に$${a + b = 5, ab = 6}$$を代入すると
$${x^2 -5x + 6 = 0}$$

$${x^2 -5x + 6 = 0}$$を解の公式で解くと
$${x = \frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = 2, 3}$$

したがって、$${a, b}$$の具体的な値は$${2, 3}$$です。

つまり、$${x^2 + 5x + 6}$$の因数分解結果は$${(x + 2) (x + 3)}$$です。