接線の方程式

問題
点$${(-1, -2)}$$から曲線$${y = x^2 + 1}$$に向けて引いた接線の方程式を求めよ。

解法１
「接線→連立方程式の重解」を連想する。

点$${(-1, -2)}$$を通り$${y}$$軸に平行な直線$${x = -1}$$が曲線$${y = x^2 + 1}$$の接線になるかを調べる。
任意の$${y}$$軸に平行な直線$${x = a}$$と曲線$${y = x^2 + 1}$$の共有点は常にただ一つである。(点$${(a, a^2 + 1}$$)
したがって、$${x = a}$$と$${y = x^2 + 1}$$の連立方程式は$${x, y}$$どちらについても重解を持たない。
重解を持たないということは、この直線と曲線は接さないということである。
そのようなわけで、点$${(-1, -2)}$$を通り$${y}$$軸に平行な直線$${x = -1}$$は曲線$${y = x^2 + 1}$$の接線にならない。

直線$${x = -1}$$は曲線$${y = x^2 + 1}$$の接線にならないので、点$${(-1, -2)}$$から曲線$${y = x^2 + 1}$$に向けて引いた接線の傾きを実数$${m}$$で表すことができる。

点$${(-1, -2)}$$を通る傾き$${m}$$の直線の方程式は$${y = m(x + 1) -2}$$
方程式$${y = x^2 + 1}$$と連立すると$${x^2 + 1 = m(x + 1) -2}$$

$${x}$$について降べきの順に並べ替えると
$${x^2 -mx -m + 3 = 0}$$

接するということは、この$${x}$$の二次方程式が重解を持つということなので、判別式$${(-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m + 3)}$$が$${0}$$になる。

このような$${m}$$は$${m = 2, -6}$$

$${m=2}$$を$${y = m(x + 1) -2}$$に代入すると
$${y = 2x}$$
$${m=-6}$$を$${y = m(x + 1) -2}$$に代入すると
$${y=-6x-8}$$

以上より、答えは$${y = 2x, y=-6x-8}$$

解法２
「接線→微分」を連想する。

曲線$${y = x^2 + 1}$$の点$${x = p}$$における接線の傾きは、$${y' = 2x}$$より$${2p}$$

したがって、曲線$${y = x^2 + 1}$$の点$${x = p}$$における接線の方程式は$${y = 2p(x-p) + p^2 + 1}$$

この直線が点$${(-1, -2)}$$を通るとき
$${-2 = 2p(-1-p) + p^2 + 1}$$
$${p^2 + 2p -3 = 0 }$$
$${(p + 3)(p -1) = 0 }$$
$${p = 1, -3 }$$

$${p = 1 }$$を$${y = 2p(x-p) + p^2 + 1}$$に代入すると
$${y=2x}$$
$${p = -3 }$$を$${y = 2p(x-p) + p^2 + 1}$$に代入すると
$${y=-6x-8}$$

以上より、答えは$${y=2x, y=-6x-8}$$