ChatGPT o3-mini に定式化問題を出してみた

2025年2月2日 06:06

ChatGPT o3-mini に以下の問題を解いてもらった．（ComplexORの問題で一番難しいやつ）

以下のロットサイズ決定問題を定式化してください．

In the context of manufacturing planning, we tackle the Capacitated Multi-level Lot Sizing Problem with Backlogging. We make the following assumptions in defining and formulating this problem. First, we assume that setup times and costs are non-sequence dependent, setup carryover between periods is not permitted, and all initial inventories are zero. Second, all production costs are assumed to be linear in production output and do not vary over time; hence, they can be dropped from the model for simplicity. Setup and holding costs also are assumed not to vary over time. Furthermore, end items are assumed to have no successors, and only end items have external demands and backlogging costs. Finally, we assume zero lead times and no lost sales.

お返事は以下の通り．（数式は何回言ってもnoteの形式に直してくれないので，gemmini experimental 1206 に以下のプロンプトを入れて修正してもらったのをさらに軽く手直しした．）

以下の文章の数式を$$. $$ で囲んだものに直して下さい．またインライン数式」を、通常 $...$ で囲むところを $${ }$$ (ドル記号2つの後に波括弧) で囲んでください。たとえば、ピタゴラスの定理は $${x^2+y^2=z^2}$$ と書きます。

【変数・パラメータの定義】

$${ x_{it} \ge 0 }$$：期間$${ t=1,\dots,T }$$におけるアイテム$${ i\in I }$$の生産量
$${ y_{it} \in {0,1} }$$：期間$${ t }$$においてアイテム$${ i }$$の生産セットアップが行われるか否か（$${ y_{it}=1 }$$ならセットアップ発生）
$${ I_{it} \ge 0 }$$：期間$${ t }$$の末尾におけるアイテム$${ i }$$の在庫量
$${ B_{it} \ge 0 }$$：エンドアイテムの場合における期間$${ t }$$の末尾のバックオーダー量
※中間アイテムについては外部需要がなく、バックオーダー費用もないため、モデル上は$${ B_{it}=0 }$$と考えます。

各パラメータは以下の通りです。

$${ d_{it} }$$：エンドアイテム$${ i }$$に対する期間$${ t }$$の外部需要
$${ a_{ij} }$$：製品$${ j }$$の生産に必要な部品$${ i }$$の数量（製品構造を表すパラメータ）
$${ f_i }$$：アイテム$${ i }$$のセットアップ費用（期間を通じて一定）
$${ h_i }$$：アイテム$${ i }$$の在庫保持費用（期間を通じて一定）
$${ b_i }$$：エンドアイテム$${ i }$$のバックオーダー費用（中間アイテムの場合は$${ b_i=0 }$$と考えます）
$${ M_i }$$：アイテム$${ i }$$の生産ロット上限または十分大きな正の数
$${ p_i }$$：アイテム$${ i }$$の生産にかかる処理時間または資源の単位使用量
$${ C_t }$$：期間$${ t }$$に利用可能な生産キャパシティ

【需要の定義】

各アイテム$${ i }$$の需要$${ D_{it} }$$は、その位置付けにより次のように定義されます。

エンドアイテムの場合：

$$
D_{it} = d_{it}
$$

中間アイテムの場合：

$$
D_{it} = \sum_{j\in S(i)} a_{ij}, x_{jt},
$$

ここで$${ S(i) }$$は、アイテム$${ i }$$を部品として必要とする上位アイテムの集合です。

【モデル】

目的は、セットアップ費用、在庫保持費用、バックオーダー費用の総和を最小化することです（生産費用は線形かつ時間不変であるため省略）。

$$
\begin{array}{rcll}
\min & \sum_{t=1}^{T}\sum_{i\in I} \Bigl( f_i,y_{it} + h_i,I_{it} + b_i,B_{it} \Bigr) & & \\
s.t. \quad & I_{it} - B_{it} = I_{i,t-1} - B_{i,t-1} + x_{it} - D_{it}, & & \forall, i\in I,; t=1,\dots,T,\\
& \quad\quad\quad\quad I_{i0}=0,\quad B_{i0}=0, & & \forall, i\in I,\\
& x_{it} \le M_i,y_{it}, & & \forall, i\in I,; t=1,\dots,T,\\
& \displaystyle \sum_{i\in I} p_i,x_{it} \le C_t, & & \forall, t=1,\dots,T,\\
& y_{it}\in{0,1},\quad x_{it}\ge0,\quad I_{it}\ge0,\quad B_{it}\ge0, & & \forall, i\in I,; t=1,\dots,T.
\end{array}
$$

【モデルの解説】

在庫・バックオーダーフロー制約：
各期間$${ t }$$において、前期間の在庫とバックオーダー（$${ I_{i,t-1} - B_{i,t-1} }$$）に、当期の生産量$${ x_{it} }$$を加え、当期の需要$${ D_{it} }$$を差し引いた残が、当期末の在庫とバックオーダー（$${ I_{it} - B_{it} }$$）となることを表しています。初期状態は$${ I_{i0}=0 }$$および$${ B_{i0}=0 }$$としています。
ロットサイズ制約：
$${ x_{it} \le M_i,y_{it} }$$ により、セットアップを行わなければ生産量はゼロとなり、セットアップが行われた場合でも生産量は上限$${ M_i }$$で制限されます。
キャパシティ制約：
各期間$${ t }$$において、すべてのアイテムの生産にかかる資源使用量の合計$${ \sum_{i\in I} p_i,x_{it} }$$が、生産キャパシティ$${ C_t }$$を超えないようにしています。
目的関数：
セットアップ費用、在庫保持費用、バックオーダー費用の総和を最小化することにより、総コストの削減を目指します。

この定式化は、以下の仮定をすべて反映しています。

セットアップ費用およびセットアップ時間は時系列依存ではない。
セットアップの持越しは禁止される。
初期在庫はゼロ。
生産費用は線形かつ時間不変（したがって省略）。
セットアップ費用および在庫保持費用は時間不変。
エンドアイテムのみが外部需要およびバックオーダー費用を有する。
ゼロリードタイム。
ロストセールスは発生しない。

以上が、キャパシティ付き多レベルロットサイズ決定問題（バックオーダー付き）の定式化例となります。

おそらく私の100+の最適化を一部参照して書いたものだと思われるが（数式に\mbox{s.t.} が入っていたが，こんなこだわり私だけ），間違えている．echelon inventoryの変数のつもりで，echeonを接続する制約が抜けている．もう一息だね．でも，こんな自信満々に答えられると，これが間違えていると言える人は少ないだろうね．