偶数と奇数（２）
＜ゴールドバッハ予想＞
旧プロイセン王国（首都はベルリン）に生まれたクリスチャン・ゴールドバッハ（１６９０～１７６４）は、数学者オイラーに宛てた書簡の中で次のように述べている。
「四以上の全ての偶数は二つの素数の和で表せる」
これが、ゴールドバッハ予想と呼ばれるもので、２０２３年現在も証明されていない。
（例） 4＝2+2 6＝3+3 8＝3+5
その後、ゴールドバッハは次のような「弱いゴールドバッハ予想」を発表する。
「７以上の全ての奇数は三個の素数の和で表せる」
（例） 7＝2+2+3 9＝3+3+3 11＝3+3+5
この「弱いゴールドバッハ予想」は、２０１３年にハラルド・ヘルフゴットによって証明されたという。
＜偶数の分解から合成へ＞
さて、ゴールドバッハ予想は、「弱いゴールドバッハ予想」も含めて、偶数や奇数を二つ、あるいは三つの素数に「分解」できることを示そうとする。
これを、二つ、あるいは三つの素数和として、偶数や奇数を「合成」する方向で考えてみたい。
すなわち、４以上の全ての偶数を二つの素数の和として実際に「合成」してみるのである。
その場合のルールとして、例えば「3+13」と「5+11」のように二種以上の合成方法がある時は、「小さい方の素数」が最小になる合成方法（「3+13」）を採用することにする。
（試行してみると次の表のようになる。「4から84まで」の偶数を合成したものである。また、合成された奇数はオレンジで示したように「双子素数」になる。）
＜奇数の分解から合成へ＞
次に、「弱いゴールドバッハ予想」について考える。全ての奇数を三個の素数の和として「合成」してみるのである。
「２」以外の素数は奇数であるので、三個の素数和は奇数になることは明らかである。
そして、「ゴールドバッハ予想」が正しければ、全ての偶数は二個の素数和で表されるので、次のようになる。
→ （素数Ａ＋素数Ｂ）＋素数Ｃ＝偶数Ｄ＋素数Ｃ
偶数Ｄを最小にする組み合わせで、全ての奇数を合成する試みの一端を次に示す。（「5から67まで」の奇数の合成）
＜偶数と奇数の関係＞
改めて、偶数と奇数の関係は面白く深いことが分かる。
剰余類として、「２で割った余り」によって、自然数を偶数と奇数に分ける場合には、偶数と奇数は対等に見える。
しかし、自然数が並ぶ中から偶数だけを持ち上げた次の図（下）を参照すると、決して対等には見えない。
「２」以外の素数は奇数の中にある。
そして、奇数の中の素数が偶数を支えているように見える。
もちろん、自然数全体は素数の積や和によって表すことができる、という
意味で、素数に支えられている。
そして、偶数はさらに強く素数によって支えられている。そのことを教え
てくれるのが、ゴールバッハ予想なのかも知れない。
＜奇数と素数の関係＞
ところで、ガウスは自然数の中の素数の出現率から「ガウスの素数定理」
を発見した。また、オイラーは自然数全体を用いて「素数階段」を描いた。
しかし、「２」以外の素数は奇数の中にある。したがって、奇数の中で素数の出現率の変化を探り、奇数全体を用いて「素数階段」を描くこともできるはずである。
（次図が奇数だけの素数階段である。素数になると一段あがる。）
＜偶数の「次数」＞
なお、偶数ａを素数の積に分解した時、「２」の個数を偶数ａの「次数」と呼ぶことにする。
例えば、偶数「8」や「24」は「３次の偶数」である。「３次の偶数」は「３回２で割る」と奇数になる。
つまり、当然のことではあるが、全ての偶数は「数回２で割る」と奇数になる。
（次図は因数「２」の個数により持ち上る程度を変えてある。）
＜奇数を偶数に変える＞
奇数は「３倍して１をたす」と偶数になる。例えば、奇数「５」は「３倍して１をたす」と偶数「16」になる。偶数「16」は「４次の偶数」だから「４回２で割る」と奇数「１」になる。
奇数は「１をたす」だけで偶数になる。それを、コラッツはあえて「３倍して１をたす」ことにした。すると、必ず「１」に辿り着くだろう、というのが「コラッツ予想」である。
＜ゴールドバッハ予想とコラッツ予想＞
ゴールドバッハ予想は、偶数を二個の（２以外の）奇数である「素数の和」で表すことが「できるだろう」と予測する。
二個の素数それぞれを「３倍して１をたす」とその和は偶数になる。「２で割る」とどうなるのだろう。
もしかすると、「ゴールドバッハ予想」は「コラッツ予想」と繋がっているのかも知れない。
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