2進数、8進数、10進数、16進数、ついでに60進数のお話

今回は、タイトルにある通り、2進数、8進数、10進数、16進数についてお話したいと思います。

60進数については、あくまでオマケです。

数を表現する方法は、実はたくさんあります。

我々が現在、一般的に使用しているのは、10進法で表された10進数です。

その10進数の数字は、アラビア数字（算用数字）、ローマ数字、漢数字などで表現されていますね。

でも今回は、数字の表し方ではなく、数の表し方のお話です。
（数字と数は、意味が違うのですが、また別の機会にお話できればと思います。）

数の表し方は、実は他にもたくさんあり、特にコンピュータの世界では、10進数とは違う方法で扱われています。

それでは、10進数とは違う表現方法について、お話していきたいと思います。

n進数（n進法）の考え方

数を表現する方法として、「n進法」という考え方があります。

　・n個の数字で、数を表現する
　・n個で表現できなくなったら、桁上がりする
　・各桁に「重み」が割り当てられている

簡単にルールを説明するとこんな感じです。
各桁（位：くらい）に重みが割り当てられていることから、「位取り記数法」とも呼ばれています。

実際にどのように表現するのかは、次項から説明していきたいと思います。

10進数について

幼稚園、小学校で習う数の数え方が、10進法です。

10進法で表現された数が、10進数になります。

10進数は、0〜9までの10個の数字で表し、9の次の数は、桁上がりして、10と表現されます。

この場合、

1000 × 1 + 100 × 2 + 10 × 4 + 1 × 7 = 1247

となります。

この考え方が全てのn進数に当てはまります。

2進数について

2進数は、2つの数字のみで表す数ということになります。

10進数で説明した、1247という数を2進数で表してみます。

1024 + 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1247

2進数で表すと、1247 = 10011011111 となり、

11桁にもなってしまいました。

私たちが日常で使うには、とても不便ですね。

この記数法は、主にコンピュータの内部で扱われます。

電気信号がオンの時に、1
オフの時に、0

という風に扱うことで、電気信号を数に置き換えることが可能となります。

8進数について

8進数もコンピュータの世界で主に扱われる記数法です。

0〜7までの8個の数字で表す数え方になります。

2進数と同様に、10進数の1247を8進数で表してみましょう。

512 × 2 + 64 × 3 + 8 × 3 + 1 × 7 = 1247

8進数では、1247 = 2337 となり、

2進数と比べると、だいぶ10進数に近くなりましたね。

それでも、10進数で生活している私たちには、扱いづらい表現方法ですよね？

これは、2進数との相性が良く、8進数は、2の3乗進数と考えることができます。

後ほど相性が良い理由もお話していきます。

16進数について

16進数も8進数と同様、コンピュータの世界で頻繁に扱われる記数法です。

16個の数字で表し、16になったら桁上がりする仕組みです。

ここで問題になるのが、16個の数字ってどうやって扱うの？

数字って、0〜9の10個しかありませんよね？

16進数では、0〜9の他に、A、B、C、D、E、F というアルファベットを数字として扱います。

それぞれのアルファベットは、

A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

として扱うことと定義しています。

それでは、これまでと同様に、10進数の1247を16進数で表してみましょう。

256 × 4 + 16 × 13 + 1 × 15 = 1247

16進数では、1247 = 4DF となります。

10進数よりも桁数が少なくなりました。

これも8進数と同じで、2進数と相性が良いのです。

その理由も次項でお話したいと思います。

それぞれの変換方法

10進数、2進数、8進数、16進数について、それぞれ説明致しました。

ここでは、それぞれの記数法同士で変換する方法をご紹介していきます。

この変換方法は、中学受験の問題やコンピュータの試験などでも出題されるものになっています。

もしかしたら、どこかで役に立つかもしれません。

せっかくなので、この機会に覚えておくと良いと思います。

10進数を分解してみる
10進数の場合、1の位が何個、10の位が何個、というように各桁（重み）の箱にどれだけ入っているか？

で表すことができました。

例えば、先ほどの「1247」という10進数の場合、

１０ ）１２４７
１０ ）　１２４・・・７
１０ ）　　１２・・・４
　　 　　　　１・・・２

10で順番に割り算していきます。

1247 ÷ 10 = 124 余り 7　となります。

次に、上記の商を10で割ります。

124 ÷ 10 = 12 余り 4

これを繰り返して、割れなくなるまで繰り返します。

最後に余りを下から順に並べていくと、1247となります。

10進数を2進数に変換
上記の分解方法を使うと、10進数を2進数に変換することができます。

２ ）１２４７
２ ）　６２３・・・１
２ ）　３１１・・・１
２ ）　１５５・・・１
２ ）　　７７・・・１
２ ）　　３８・・・１
２ ）　　１９・・・０
２ ）　　　９・・・１
２ ）　　　４・・・１
２ ）　　　２・・・０
　 　　　　１・・・０

10進数の1247を2で割り続けると、上記のようになります。

最後に余りを下から順に並べていくと、10011011111となります。

10進数を8進数に変換
2進数の場合は、2で割り続けましたが、8進数の場合はどうなるでしょうか？

同じように、8で割り続けていきます。

８ ）１２４７
８ ）　１５５・・・７
８ ）　　１９・・・３
　 　　　　２・・・３

これを余りを下から順に並べると、2337となります。

10進数を16進数に変換
10進数から16進数に変換する場合も繰り返しになりますが、10進数の1247を16で割り続けていきます。

１６ ）１２４７
１６ ）　　７７・・・１５
　　 　　　　４・・・１３

この余りを順番に並べると、41315とはなりません。

13は、D
15は、F にそれぞれ変換して並べます。

すると、4DF と表すことができます。

2進数を8進数に変換
先ほど、2進数と8進数は、相性が良いとお話しました。

その理由ですが、8 は、2 × 2 × 2 と表すことができますね？

つまり、8 = 2の3乗 ということになります。

もう少し、分解してお話すると、

8進数は、0 〜 7 の8個の数字を使うのですが、それを2進数で表現すると、

0 〜 111 の数字で扱うことができる、ということになります。

1の位が、0 〜 111
8の位が、0 〜 111
64の位が、0 〜 111

で、それぞれ表現されるということです。

それでは、10進数 1247 の2進数、10011011111 を8進数に変換してみます。

まず、この2進数を3桁ずつ分けます。

10　011　011　111

この3桁ずつに分けたそれぞれを10進数に変換していきます。

なぜ10進数にするかというと、先ほど説明した、8個の数字は、0〜7でした。

これを0〜111として表現していたので、元に戻してあげる作業になります。

すると、

10 は、2進数で、2
011 は、2進数で、3
111 は、2進数で、7

となりますので、結果は、2337 となります。

逆に、8進数 2337 を2進数に変換する場合は、それぞれの数字を10進数の数字として2進数に変換していきます。

2進数を16進数に変換
16進数は、2の4乗進数とも言い換えることができますね。

8進数と同様に、0 〜 15 の数字は、2進数で、0 〜 1111 と表すことができます。

それでは、2進数 10011011111 を16進数に変換してみます。

まずは、4桁ずつに分けます。

100　1101　1111

これを10進数に戻してあげます。

100 は、4
1101 は、13 = D
1111 は、15 = F

となりますので、結果は、4DF となります。

逆に、16進数 4DF を2進数に変換する場合は、それぞれの数字を10進数の数字として2進数に変換していきます。

8進数を16進数に変換
最後に、8進数を16進数に変換する方法です。

8進数 2337 を16進数に変換する場合を考えてみます。

それぞれの数字を一度、3桁ずつの2進数に変換します。

2 は、010
3 は、011
3 は、011
7 は、111

これを並べると、010011011111 となりますね。

今度は、この2進数の結果を4桁ずつに分けます。

0100　1101　1111

あとは、2進数から16進数に変換する手順と同じです。

結果は、4DF となります。

逆に16進数から8進数への変換もまずは4桁ずつの2進数に変換した後で、3桁ずつに分けて変換してあげます。

オマケ：60進数について

実は、60進数という記数法は、小学生で既に勉強しており、日常でも使っています。

00〜59で1桁を表し、60になったら桁上がりをする数…

そう、時間です。

時間の数え方は、60進法で表されていたんですね。

59分から60分になったら、桁上がりして、1時間となります。

でも、24時間になったら、桁上がりして、1日となります。

つまり厳密に言うと、「分」が60進数で、「時」は24進数ですね。