複雑な計算を図形で解く！？ 中学受験の面白い問題を紹介します！⑦

みなさん、こんにちは！
現役東大生ライターの松岡頼正です。
 
この連載では中学入試の面白い問題を、詳しい解説込みで紹介しています。

前回の記事はこちらです。 

今回は算数に戻って、「計算の工夫」が面白い問題を２つ続けて解いていきましょう。
 
まず１問目はこちらです。

・１問目

2014年度 東大寺学園中学 算数 1番（1）より

以前からこの連載を読んでくださっている方なら、この式を見て既にピンとくるところがあるのではないでしょうか？
 
そう、「×１２」と「４８０００」という数字の部分です。
 
ここを見て「おや？」と思った人は、計算の工夫の意識がかなり身についてきている証拠です。
 
では、さっそく解いていきましょう。
 
□を求めるには、まず＋より右の「１１×…」を何とかしないといけません。
 
ここで、 

　１１×１２×１３×１４
＝１１×１２×１３×（２×７）
＝１１×（１２×２）×１３×７
＝１１×２４×１３×７ 

と変形すると、「×２４」と「４８０００」が２４でくくれます。
 
これを利用して式を変形すると、 

□×２７×３７＋１１×２４×１３×７＝４８０００
 
□×２７×３７＝４８０００－１１×２４×１３×７
  
□×２７×３７＝２４×（２０００－１１×１３×７） 

となりますね。
 
ちなみに、「１１×１３×７」の部分は地道に計算するしかありません。
 
３つの素数「７×１１×１３」の答えが１００１であることを暗記していれば別ですが…。
 
というわけで、（２０００－１１×１３×７）の部分の答えは

２０００－１００１＝９９９になります。
 
ここで、左辺に目を移してみましょう。
 
　□×２７×３７
＝□×９×３×３７
 
ですね。
 
すると、式全体は 

□×９×３×３７＝２４×９９９
□×９×３×３７＝（８×３）×（９×１１１）
〔両辺の９×３を消去して〕
□×３７＝８×１１１
□×３７＝８×（３７×３） 

となるので、×３７を消去して、□に入るのが２４だと分かります。

「１１１＝３７×３」
「１００１＝７×１１×１３」
 
は知っていると便利なことがちょくちょくあるので、この機会に覚えておくといいでしょう。
 
 
では、次の問題に移りましょう。

・２問目

2016年度 甲陽学院中学校 算数 2日目 1番（1）より

これも先ほどの問題と同じく大問１の（１）なので、実際の入試では短い時間で正確に解かなければいけません。

でも、パッと見るとかなり面食らいそうな大きい数字が並んでいますね。

今回はまず、マイナスの両側に共通して「６７８９」があるのでくくります。

するとこの式は 

６７８９×６７８９×６７８９－６７８８×６７８９×６７９０＝□

６７８９×（６７８９×６７８９－６７８８×６７９０）＝□ 

となります。
 
ただ、ここで（ ）の中の計算をそのままするのは、計算ミスや時間ロスのもとです。
 
では、どう工夫すればいいのでしょうか？
 
ヒントは、図形の面積の計算です。
 
「計算問題なのに図形の面積？」と思われるかもしれませんが、面積を求めるときの考え方を利用すれば、計算量を減らして時短が図れるのです。
 
説明の前に、まずはどのように図形を使えばいいかイメージしてみてください。

どうでしょうか？
 
私なら、このように考えます。