数学オリンピックの難問も怖くない！？　実際に出場した東大生が教える「東京ドーム発想法」の使い方

皆さんこんにちは！
計算の申し子こと、ドラゴン桜チャンネル塾長の永田耕作です。
 
今回は計算力爆上げシリーズではなく、ちょっと趣向を変えて数学オリンピックについてお話ししたいと思います。

僕は高校生の時に出場したことがあり、数学の面白さと難問を解く時のコツをみなさんにぜひ知ってもらいたいと思い、ここでご紹介することにしました。

みなさんは数学オリンピックについて、どのくらいご存知でしょうか？

この大会は名前の通り、数学の問題を解く能力を競うものです。年に1度の世界大会が7月に開催され、その予選として日本数学オリンピック（JMO）が日本のいくつかの会場で行われます。

スポーツのオリンピックとは違って、出場資格は高校2年生までの学生に制限されており、毎年全国の数学好きの高校生、中学生、そして時にはなんと小学生も出場して数学力を競い合っています。国内の予選には毎年4000～6000人が出場する、大規模な大会です。

 ちなみに今年度の応募締め切りは、この9月末までになっています。もしこの記事を読んで数学オリンピックに少しでも興味を持ってくれた学生の方がいれば、ぜひ応募してもらえると嬉しいです！
 
どんな問題が出るんだろうと気になった方は、下のリンクにアクセスしてみてください。↓↓

第29回(2019年)JMO予選の問題

これは僕が2019年に出場した時の、実際の問題です。

どんな印象だったでしょうか？　問題番号が進むにつれて徐々に難易度が上がっていきますが、最初の方からもう難しいと感じた人もいるかもしれません。

でも安心してください。そんな方のために、難しい問題を解くためのコツをお伝えしたいと思います。このコツを使えば、数学オリンピックの難問でも答えの道筋が見えるようになります！

どんなコツなのかを説明するために、まずはこちらのマンガをご覧ください。

いかがでしたか。具体的なイメージを思い浮かべる「東京ドーム発想法」が説明されていましたね。

この発想法は数学の問題を解くときにとても役立ちます。具体的な数字を想定したり代入することで、問題を解く手がかりがつかみやすくなるのです。
 
実際にどう活用するのか、簡単な問題を例にして説明していきましょう！

まずこちらの図をご覧ください。碁石が正方形になるように、規則的に並べられています。この図を参考にして、「n番目の碁石は何個になるか答えなさい」という問題です。

この時いきなりn番目を考えようとすると、答えの見当がつきにくく上手くいきません。このような規則性のある問題では、まず1,2,3番目の数を順に確かめて、どのような法則があるかをつかむことが重要です。

実際に数えてみると、2番目は「4個」、3番目は「8個」、4番目は「12個」というように、2番目以降は全て4の倍数になっていることがわかります。そうすると、5番目の碁石の数は予測できますよね？

皆さんが予想した通り、5番目は「16個」、さらに6番目は「20個」と、規則性にしたがって増えていきます。ここで「順番の数より1小さい数に×４をすればいいのかな」と見当がつくので、「じゃあn番目は4(n-1)個、つまり (4n-4)個だな」と答えに辿りつけるのです。
 
具体的な数字を代入して考えることの有効性が、お分かりいただけたでしょうか？
  
では同じ東京ドーム発想法を使って、今度は先ほどの数学オリンピックの問題を解いてみたいと思います！
 
こちらのリンクの5番の問題を見てください。↓↓