【量子力学】 同時固有状態と交換可能性の同値性
更新 2024/12/25
物理量 $${A, B}$$ の演算子をそれぞれ $${\hat{A}, \hat{B}}$$ とすると,
$$
\hat{A}, \hat{B} の同時固有状態が存在する \iff [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}.
$$
なお, $${[, ]}$$ は, 次で定義される交換関係と呼ばれるものである (*1).
$$
[A, B]\equiv AB-BA
$$
1. 十分性の証明
$${\implies}$$ を示す.
$$
\hat{A}, \hat{B} の同時固有状態が存在する \implies [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}.
$$
まず, $${A, B}$$ の同じ固有状態 $${\varphi_{a_ib_j}}$$ において固有値方程式
$$
\hat{A} \varphi_{a_ib_j}=a_i\varphi_{a_ib_j}\\
\hat{B} \varphi_{a_ib_j}=b_j\varphi_{a_ib_j}
$$
が成立する. よって,
$$
\tag{1} \hat{B}\hat{A} \varphi_{a_ib_j}=\hat{B}(a_i\varphi_{a_ib_j})=a_i\hat{B}\varphi_{a_ib_j}=a_ib_j\varphi_{a_ib_j}
$$
$$
\tag{2} \hat{A}\hat{B} \varphi_{a_ib_j}=\hat{A}(b_j\varphi_{a_ib_j})=b_j\hat{A}\varphi_{a_ib_j}=b_ja_i\varphi_{a_ib_j}.
$$
(1), (2) より, 辺々引くと,
$$
\tag{3} (\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A})\varphi_{a_ib_j}=0.
$$
この (3) 式は, $${i, j}$$ を問わず, 完全系をなす全ての関数 $${\varphi_{a_ib_j}}$$ に対して成立するので,
$$
\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=[\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}.
$$
よって, 示された.
2. 必要性の証明
$${\impliedby}$$を示す.
$$
\hat{A}, \hat{B} の同時固有状態が存在する \impliedby [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}.
$$
まず
$$
\tag{4} [\hat{A}, \hat{B}]=\hat{0}.
$$
§1. 縮退がない場合
$${\hat{B}}$$ の固有状態を $${\varphi_{ab}}$$ とすると,
$$
\tag{5} \hat{B}\varphi_{ab}=b\varphi_{ab}.
$$
$$
\tag{6}
\begin{equation}
\begin{split} \therefore \hat{B}\hat{A}\varphi_{ab} &=\hat{A}\hat{B}\varphi_{ab} (\because (4))\\
&=b\hat{A}\varphi_{ab}. (\because (5))
\end{split}
\end{equation}
$$
この (6) 式は, $${\hat{A}\varphi_{ab}}$$ が $${\hat{B}}$$ の固有状態であることを表しているが, 今縮退がない, つまり $${b}$$ に対して $${\hat{B}}$$ の固有関数が1個のみなので, (5) 式のように書ける必要があり,
$$
\hat{A}\varphi_{ab}\varpropto\varphi_{ab}.
$$
ということは, 定数倍は許されて,
$$
\tag{7}\therefore\hat{A}\varphi_{ab}=a\varphi_{ab}
$$
と書ける. この定数 $${a}$$ こそが $${\hat{A}}$$ の固有値に他ならないので, $${\varphi_{ab}}$$ は $${\hat{A}}$$ の固有状態にもなっていることが分かる. 結局 (5), (7) 式より, $${\varphi_{ab}}$$ は $${\hat{A}}$$ と$${\hat{B}}$$ の同時固有関数になっている.
§2. 縮退がある場合
$${b}$$ に対して, $${n}$$ 重に縮退している
$$
\tag{8} \hat{B}\varphi_{b,i}=b\varphi_{b,i} (i=1, 2, …, n)
$$
とする.
$$
\begin{equation*}
\begin{split} \therefore \hat{B}\hat{A}\varphi_{b,i} &=\hat{A}\hat{B}\varphi_{b,i} (\because (4))\\
&=b\hat{A}\varphi_{b,i}. (\because (8))
\end{split}
\end{equation*}
$$
よって, 同様に, $${\hat{A}\varphi_{b,i}}$$ は一般に $${n}$$ 個の線形結合となり,
$$
\tag{9} \hat{A}\varphi_{b,i}=\displaystyle\sum_{j=1}^nc_{ji}\varphi_{b,j}.
$$
(9) 式の両辺, 左から $${\varphi_{b,k}^*}$$ をかけて内積をとると$${^{*1}}$$,
$$
\tag{10}
\begin{equation*}
\begin{split} \int d^3r\varphi_{b,k}^*\hat{A}\varphi_{b,i} &=\displaystyle\sum_{j=1}^nc_{ji}\int d^3r\varphi_{b,k}^*\varphi_{b,j}\\
&=c_{ki}. (\because \int d^3r\varphi_{b,k}^*\varphi_{b,j}=\delta_{kj})
\end{split}
\end{equation*}
$$
ここで, $${c_{ki}^*}$$ について,
$$
\begin{equation*}
\begin{split} c_{ki}^* &=\int d^3r(\hat{A}\varphi_{b,i})^*\varphi_{b,k} (\because (10))\\
&=\int d^3r\varphi_{b,i}^*\hat{A}\varphi_{b,k} (\because 物理量演算子は必ずエルミート演算子になるので, \hat{A}^\dag=\hat{A})\\
&=c_{ik} (\because (10))
\end{split}
\end{equation*}
$$
より, $${C=(c_{ki})}$$ はエルミート行列である. よって, 適切なユニタリ行列 $${D=(d_{ki})}$$ で対角化できるので,
$$
D^\dag CD=\begin{pmatrix}
a_1 & && \\
& a_2\\
&&\ddots\\
&&&a_n
\end{pmatrix}
$$
$$
\tag{11}\iff(D^\dag CD)_{ki}=a_k\delta_{ki}.
$$
ちなみに $${a_k}$$ は行列 $${C}$$ の固有値である. ここで,
$$
\tag{12}
\begin{equation*}
\begin{split} (CD)_{ki} &=(DD^\dag CD)_{ki}\\
&=\displaystyle\sum_{m=1}^nd_{km}(D^\dag CD)_{mi} (\because (11) より, (D^\dag CD)_{mi}=a_m\delta _{mi})\\
&=d_{ki}a_i.
\end{split}
\end{equation*}
$$
故に, $${\varphi_{b,i}}$$ の, 行列 $${D}$$ による線型結合
$$
\tag{13}\bar{\varphi}_{b,i} \equiv \displaystyle\sum_{l=1}^nd_{li}\varphi_{b,l}
$$
を考えると, (13) 式に左から$${\hat{A}}$$ を作用させて,
$$
\tag{14}
\begin{equation*}
\begin{split} \hat{A}\bar{\varphi}_{b,i} &= \displaystyle\sum_{l=1}^nd_{li}\hat{A}\varphi_{b,l}\\
&=\displaystyle\sum_{l=1}^nd_{li}\displaystyle\sum_{k=1}^nc_{kl}\varphi_{b,k} (\because (9))\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n\varphi_{b,k}\displaystyle\sum_{l=1}^nc_{kl}d_{li}\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n\varphi_{b,k}(CD)_{ki}\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n\varphi_{b,k}d_{ki}a_i (\because (12))\\
&=a_i\displaystyle\sum_{k=1}^nd_{ki}\varphi_{b,k}\\
&=a_i\bar{\varphi}_{b,i}. (\because (13))
\end{split}
\end{equation*}
$$
これは, $${\hat{B}}$$ の固有関数 $${\varphi_{b,i}}$$ の適切な線型結合 (13) で与えられる $${\bar{\varphi}_{b,i}}$$ が $${\hat{A}}$$ の固有関数であることを示している. したがって, (8), (14) より, $${\varphi_{b,i}}$$ は$${\hat{A}}$$ と $${\hat{B}}$$ の同時固有関数になっている. $${\blacksquare}$$
$${^{*1}}$$$${\delta_{kj}}$$ は, $${k=j}$$ のとき $${1}$$, $${k\ne j}$$ のとき $${0}$$ になるKroneckerのデルタという.
参考文献
[1] 猪木慶治, 河合光.『量子力学I』(1994, 講談社).