【量子力学】 交換関係の公式
更新 2024/12/25
$$
[A, BC]=B[A, C]+[A, B]C
$$
なお, $${[, ]}$$ は, 次で定義される交換関係と呼ばれるものである$${^{*1}.}$$
$$
[A, B]\equiv AB-BA
$$
脚注
$${^{*1}}$$交換子とも言う.
1. 導出
$$
\begin{equation*}
\begin{split} (\because) B[A, C]+[A, B]C&=B(AC-CA)+(AB-BA)C\\
&=A(BC)-(BC)A (\because\text{第1項と3項が相殺})\\
&=[A,BC]. \blacksquare
\end{split}
\end{equation*}
$$
2. 覚え方
左辺の $${BC}$$ が, $${B}$$ は左へ, $${C}$$ は右へ移動するイメージで僕は覚えている.
また, 似たような公式として, ベクトル三重積
$$
\textbf{\textit{A}}\times (\textbf{\textit{B}}\times \textbf{\textit{C}})=\textbf{\textit{B}}(\textbf{\textit{A}}\cdot\textbf{\textit{C}})-(\textbf{\textit{A}}\cdot \textbf{\textit{B}})\textbf{\textit{C}}
$$
というのもある (右辺第２項の符号がマイナスなのは注意). これと関連させて両方とも同時に覚えている.