2022日本数学オリンピック予選 第7問 ヒント
問題
ヒント
辺 $${AC}$$ 上に$${∠GDC=∠FDB}$$ となる点 $${G}$$ をとり、補助線 $${GD}$$ を引く。
解説
図は自分で書いてください。点 $${E}$$ は 2 通りの取り方がありますが、頂点 $${C}$$ に近い方で書いてください。
辺 $${AC}$$ 上に$${∠GDC=∠FDB}$$ となる点 $${G}$$ をとる。
$${△GCD}$$ と $${△FBD}$$ において
$${∠GDC=∠FDB}$$
$${∠GCD=∠FBD=45°}$$
であるから $${△GCD∽△FBD}$$ ・・・①
よって $${∠CGD=∠BFD}$$ ・・・②
また、四角形 $${AEDF}$$ において
$${∠EDF+∠EGF=90°+90°=180°}$$
より、四角形 $${AEDF}$$ は円に内接する。
よって、内角とその対角の外角は等しので
$${∠AED=∠BFD}$$ ・・・③
②、③ より、$${△DEG}$$ において
$${∠EGD=∠CGD=∠BFD=∠AED=∠GED}$$
したがって $${DG=DE=5}$$
① より
$${CD:DB=DG:DF=5:3}$$
ゆえに
$${BD= \frac{3}{3+5} ×BC= \frac{3}{8} ×7 \sqrt{2}= \frac{21 \sqrt{2} }{8} }$$
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