【数Ⅲ】不等式を微分を使って証明する【増減表を見て最小値を探す】

問題

(1)　$${x>1}$$のとき$${\log x < \sqrt{x}}$$を示せ。
　　この結果を使って，$${\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0}$$を示せ。
(2)　$${x>1}$$のとき$${\log x > \frac{2(x-1)}{x+1}}$$を示せ。
(3)　$${x>1}$$のとき$${\sin x > x-\frac{x^2}{2}}$$を示せ。

解説

概要欄

微分を使って不等式を証明します。
増減表を使って最小値を求めることによって、不等式を証明する方法は数学Ⅱでも出てきました。
グラフの単調性に注目して不等式を証明する方法があります。
二階微分まで駆使してグラフの動きを捉えましょう。

【目次】
0:00 増減表で不等式を示す
4:32 logx/xの極限
7:17 増減表を使わずに不等式を示す
9:26 2段階の証明
12:02 エンディング