【数Ⅱ】三角関数と方程式【パターン別学習】

問題

(1)　$${\sin2x=\cos x}$$$${(0\leqq x <2\pi)}$$
(2)　$${\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1}$$$${(0\leqq x <2\pi)}$$
(3)　$${2\sin ^2 x + 7 \sin x + 3 =0}$$$${(0\leqq x <2\pi)}$$
(3)'　$${2\cos ^2 x- 7 \sin x -5 =0}$$$${(0\leqq x <2\pi)}$$
(4)　$${\sin ^2 x + \sin x \cos x -1 =0}$$$${(0\leqq x <2\pi)}$$
(5)　$${\sin x + \cos x +2\sin x \cos x -1 =0}$$$${(0\leqq x <2\pi)}$$

解説

(1)

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(5)

概要欄

(1)　三角関数の入った方程式 sin2x=cosx を解こう。 三角関数では中身の角が異なっているとほとんど計算ができません。 まずは中身の角を揃えるところから始めましょう。 方程式を解くときの基本は因数分解です。 三角関数でも因数分解ができますか？

(2)　三角関数の入った方程式、2回目は1次式です。 sinx+√3cosx=1 1次式になったから簡単になった？ そんなことはありません。 1次式ということは因数分解ができないからです。 では、どうやって対応すればいいのでしょうか。 合成を使って三角関数の個数を減らしてみましょう。

(3)　2sin²＋7sinx+3=0を解こう。 sinだけの2次方程式は置換をして見やすくしてみましょう。 cos²xが入っていたら、sin²x+cos²x=1を使って、cos²xを消去するといいです。

(4)　sin²x＋sinxcosx-1=0を解こう。 相互関係ではsinだけ、cosだけの式にすることができません。 そんなときは、倍角（半角）の公式を使って次数を下げてみましょう。

(5)　三角関数と方程式、最後の1題です。 sinx+cosx+2sinxcosx-1=0 を解きます。 sinxだけ、cosxだけの式にできない。 1次式があるから次数下げもできない。 さて、どうしたらいいでしょうか。 この式がsinxとcosxについて対称式になっていることを意識して t=sinx＋cosx と置換します。 今まで勉強した知識をフル活用して問題を解こう！