流体力学 ブラジウスの第2公式
皆様おはこんばんちは。
最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
今回は，第60回目として「ブラジウスの第2公式」について紹介したいと思います。前回の投稿で「ブラジウスの第1公式」とその有効性を記事にしておりますので，ご確認ください。
（1）ブラジウスの第2公式
では，ブラジウスの第2公式を導出してみましょう。ブラジウスの第1公式で使ったときと同様に，図1はz平面における任意断面を柱状体の概略図を示します。
このとき，流れが物体（柱状体）に働く全圧力x，y方向をそれぞれPx，Pyとし，流れが物体に働く圧力の座標原点に関するモーメントMは，式（1）のようになり，この式（1）こそ「ブラジウスの第2公式」なのです。
先ず，柱状体（単位長さ1とした2次元）の周辺の任意の1点より，図1のような三角形を考えます。このとき，ds；線素，dx：x方向成分の線素，dy：y方向成分の線素，α：任意の角度，pds：dsに対して垂直に働く流体の圧力による力を示します。
この線素dsに働く力pdsのx，y方向成分pdssinα，pdscosαからpdsの座標原点に関する微小モーメントdMは，式（2）のようになります。
ここで，三角関数の定義に立ち返ると，dsは式（3）のように考えることが出来ます。
得られた式（3）を式（2）へ代入すると，式（4）に書き換えられます。
このとき，柱状体（三角形）周辺に沿って流れる流速qsと置くと，ベルヌーイの定理（定常流れのとき，物体の前後で運動エネルギーと圧力エネルギーがエネルギー保存側によって成立する定理）は，式（5）のようになります。
式（5）を式（4）へ代入すると，式（6）のようになります。
式（6）の下線部で示した部分を書き換えます。書き換えには，複素数の四則演算を使います。複素数x+iyと微小な共役複素数dx-idyを使って展開すると，実部Re（Real part）と虚部Im（Imaginary part）に分解でき，式（7）のように表現できます。
では，式（7）の実部Reを式（6）の下線部に適用すると，式（8）のようになります。
式（8）の柱状体（三角形）周辺に沿って流れる流速qsに注目すると，流速qsは2乗されているため，x，y方向成分の速度をそれぞれu，vを使って表現し直します。具体的には，複素数と共役複素数形式で記述すると，式（9）のようになります。
式（9）を式（8）へ代入すると，式（10）のようになります。
式（10）の下線部は，微分記号があって気持ち悪いので，さらに書き換えます。以前の記事で取り上げた「流線の式」を使用します。式（11）に流線の式を示しますが，詳細が知りたい方は過去の記事をご確認ください。
今回は，式（10）の下線部に対応した多項式のみを流線の式（11）を使って，式変形したものを式（12）として示します。
ここで，式（12）を式（10）へ代入すると，式（13）のようになります。
式（13）に注目すると，右辺の積分は，柱状体周辺に沿っての1周積分です。この話は，過去の記事で取り上げた「コーシーの積分定理」が使えます。詳細は，過去の記事をご確認ください。
式（13）に注目すると，コーシーの積分定理によって，柱状体周辺を囲む任意の閉曲線Cの間に(dw/dz)^2の特異点（正則でない点，すなわち微分不可能な点）がない場合は，柱状体周りの長さsに沿う積分を任意の閉曲線Cに沿う積分に置き換えが出来ます（過去記事の「2重連結領域」に該当する）。
以上の話を用いて，式（13）の1周積分の場所を置換すると，式（14）のようになります。
式（14）は，式（1）と同様の式になったことから「ブラジウスの第2公式」が導出できました。ここで，w：柱状体周りの流れの複素ポテンシャル，ρ：流体密度，C：柱状体を囲む任意の閉曲線，Re［］：実数部を示します。
ここまでの証明で分かった通り，ブラジウスの第1公式も，第2公式の証明も同様に，ベルヌーイの定理とコーシーの積分定理を利用することで証明ができます。
（2）まとめ
今回の記事のまとめを以下に示します。
① ブラジウスの第2公式は，物体に働く「モーメント」を求めるものであり，ベルヌーイの定理とコーシーの積分定理を用いて導かれる。
以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。
次回は，「ダランベールのパラドックスとクッタ・ジューコフスキーの定理」について取り上げます。
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